Capacité à Zéro-Erreur des Canaux Quantiques

Une des problématiques les plus étudiées en théorie de l’information quantique est la capacité des canaux quantiques [1, 2]. La mécanique quantique prévoit divers ressources lesquelles permettent définir la capacité de plusieurs façons différentes en dépendant : (a) du type d’information que nous voudrons transmettre − classique ou quantique ; (b) des ressources externes, à l’exemple de l’intrication ; et (c) du protocole de communication. Le protocole de communication indique quels sont les procédures d’encodage, mesure et décodage des états quantiques. Dans cette thèse, nous allons considérer les capacités des canaux quantiques sans mémoire pour la transmission d’information classique. Selon le protocole, nous pouvons grouper ces capacités en trois catégories :
1. les mots de code sont des produits tensoriels, et les mesures sont faites individuellement à la sortie du canal [3, 4, 5, 6] ;
2. les mots de code sont des produits tensoriels, et des mesures collectives à la sortie du canal sont permises [7, 8, 9, 10] ;
3. les mots de code intriqués sont permis, pareillement pour les mesures collectives à la sortie du canal [11].

Des exemples de capacité qui emploient le protocole 1 sont la capacité one-shot [3, 4, 5] et la capacité adaptative de Shor [6]. La principale capacité qui emploie le protocole 2 est la capacité d’Holevo-Schumacher-Westmoreland (HSW) [7, 8], qui est considéré une généralisation de la capacité ordinaire de Shannon.

Les capacités qui emploient le protocole 3 sont directement reliées à l’un des plus importants problèmes ouverts de la théorie de l’information quantique : la conjecture d’Holevo [7]. La conjecture affirme que l’utilisation d’états intriqués entre plusieurs utilisations du canal n’agrandit pas la capacité des canaux quantiques sans mémoire. Néanmoins, nous savons que des mots de code intriqués peuvent agrandir la capacité HSW des canaux quantiques avec mémoire [11].

Capacité à zéro-erreur des canaux classiques

En 1956, huit ans après son premier travail en introduisant la théorie de l’information, Shannon [12] a démontré que c’était possible de transmettre de l’information sans erreur à travers un canal discret sans mémoire (DSM), au lieu de permettre une probabilité d’erreur asymptotiquement petite [13]. La capacité à zéro-erreur a été définie comme étant le supremum des taux dans lesquels l’information peut être transmise à travers un canal DSM avec probabilité d’erreur égale à zéro.

Dans son article original, Shannon a suggéré que la capacité à zéro-erreur puisse être décrite en utilisant des éléments de la théorie des graphes. À travers l’association d’un graphe avec un canal DSM, Shannon a introduit une nouvelle quantité : la capacité de Shannon d’un graphe [14, 15, 16]. Différemment de la capacité ordinaire, le calcul de la capacité à zéro-erreur est un problème combinatoire. Dû à sa nature restrictive − une probabilité d’erreur égale à zéro est imposée, la théorie de l’information à zéro-erreur est fréquemment ignorée par les chercheurs en théorie de l’information. Néanmoins, leurs méthodes possèdent d’importantes applications dans les domaines de la combinatoire et de la théorie des graphes.

Cette thèse propose une généralisation de la capacité à zéro-erreur pour les canaux quantiques. Initialement, nous avons défini un code en bloc à zéro-erreur quantique, aussi bien que les procédures d’encodage et décodage. La capacité à zéro-erreur quantique est définie comme étant le supremum des taux dans lesquels l’information classique peut être transmise sans erreur à travers un canal quantique sans mémoire. Le problème de calculer la capacité à zéro-erreur quantique est reformulé en utilisant des outils de la théorie des graphes. Nous analysons des propriétés d’états quantiques et des mesures qui atteignent la capacité à zéro-erreur quantique. À travers un exemple, nous conjecturons que la capacité à zéro-erreur quantique est une généralisation non-triviale de la capacité à zéro erreur de Shannon. Finalement, nous démontrons que la capacité HSW est une borne supérieure de la capacité à zéro-erreur quantique.

Capacités des canaux quantiques

Nous ferons un résumé des principales capacités des canaux quantiques pour la transmission d’information classique. Avant, nous donnerons une définition de l’entropie de von Neumann. Il est important de souligner que toutes les capacités discutées dans cette section permettent une probabilité d’erreur de décodage asymptotiquement nulle, c’està-dire, bien que petite elle est différente de zéro.

Entropie de von Neumann

L’entropie de von Neumann [2, pp. 510] est une généralisation de l’entropie de Shannon pour les états quantiques. L’entropie de von Neumann d’un état ρ est

S(ρ) ≡ −tr [ρ log ρ] , (1.8)

où la base de logarithme est 2. Dans un espace de Hilbert de dimension d, la valeur maximale de l’entropie est log d, qui correspond à l’état ρ = 1ld/d (l’état complètement dépolarisé). L’entropie relative est définie de manière analogue à l’entropie de Shannon, S(ρ||σ) ≡ tr [ρ log ρ] − tr [ρ log σ] . (1.9) .