Calculs d’agrégats polycristallins

Deux écoles de calculs d’agrégats polycristallins se présentent à nous : les modèles analytiques et les modèles numériques. Les méthodes analytiques nous donnent une solution mathématique exacte à un problème. Malheureusement, les calculs d’agrégats polycristallins ne sont pas des problèmes simples qui offrent la possibilité d’avoir une solution mathématique exacte : deux solutions se présentent alors : simplifier le problème afin d’avoir une solution analytique qui se rapproche le plus de notre problème, ou bien utiliser des modèles d’approximation numériques qui sont bien plus demandeur en puissance de calculs, mais qui fournissent une meilleure solution.

De nombreux paramètres sont à considérer dans les calculs d’agrégats : la distribution des tailles de grains, des orientations cristallographiques, les interactions entre les différentes phases de l’alliage, les effets de joint de grain, les effets de surface, les différents phénomènes de déformation (élastique, plastique, visqueux, thermique ,etc.), les contraintes résiduelles, les effets de forme, de texture, désorientation cristallographie, effet d’endommagement, formation de fissure, etc. La liste de phénomènes à prendre en compte est très longue. Il est donc très difficile de considérer tous ces paramètres à la fois et des simplifications sont alors nécessaires.

Génération du polycristal

Il possible à l’aide d’outil de mesure de capturer la microstructure d’un matériau, voir même la tomographie complète d’un matériau en trois dimensions, et de pouvoir comparer par la suite un modèle construit à partir de la tomographie aux essais expérimentaux réalisés sur le matériau. C’est ce qu’on fait différents auteurs (Musienko et al., 2007; Latourte et al., 2013, 2012) dans le but de valider leur modèle et leurs paramètres qui ont été identifiés sur essai macroscopique à l’aide de modèle d’homogénéisation

Génération des grains

Dans le cadre de cette étude, nous nous intéressons à des générations de polycristaux aléatoires. Différentes méthodes existent pour la génération et la distribution des grains d’un polycristal dans l’espace : la méthode la plus courante est la méthode de la mosaïque de Voronoï. Elle consiste à faire germer de façon isotrope et de vitesse égale des grains dispersés de façon aléatoire dans l’espace .

Une autre méthode, moins réaliste, et beaucoup plus régulière, est la structure (ou conjecture) de Kelvin. C’est un réseau périodique de polyèdres à 14 faces possédant 6 faces carrées et 8 faces hexagonales  . Tous les polyèdres formant la structure de Kelvin sont identiques : de même taille et de même forme. Du fait que tous les grains ont la même forme et la même taille, la structure de Kelvin permet d’étudier l’influence du voisinage d’un grain sans avoir les problèmes d’effet de forme et de taille entre chaque grain.

Méthodes de génération aléatoire des orientations cristallographiques

Il existe différentes méthodes de génération aléatoire d’orientations, mais toutes ne sont pas adaptées au cas des polycristaux. Deux écoles se présentent : celle basée sur les angles d’Euler méthode utilisée dans le cadre de la thèse de M. Hamid Pourian (Pourian, 2014)) et celle basée sur les quaternions (méthode utilisée dans le cadre de la thèse de Y. Guilhem (Guilhem, 2011)). Ce que l’on cherche à obtenir est une distribution bien uniforme des orientations cristallographiques et éviter toute forme de texture. Après comparaison de ces deux méthodes , chacune a montré être bien adaptée à notre problème.

Notion de VER

Lors d’une approche micromécanique, il est nécessaire de définir un volume élémentaire représentatif (VER) afin que le comportement effectif du volume considéré ne soit plus affecté par la répartition aléatoire des grains. Soit un polycristal aux dimensions infinies, le VER est la plus petite partition de ce polycristal que l’on peut isoler de telle sorte que le comportement effectif de cette portion reste identique au comportement effectif du polycristal aux dimensions infinies. Ceci revient aussi à dire que nous avons atteint le VER lorsque les propriétés effectives de ce volume n’évoluent plus lorsque les dimensions de ce volume augmentent.

De manière générale, il est estimé qu’une section d’une trentaine de grains est considérée comme suffisante pour avoir un comportement effectif bien homogénéisé d’un polycristal (Forest et Fivel, 2004), mais la notion de VER dépend aussi du modèle de simulation utilisé. T. Kanit (Kanit, 2003) a écrit sa thèse de doctorat sur l’étude de la notion de VER pour les polycristaux à partir de la méthode des ÉF  . Il a étudié l’influence de l’anisotropie des cristaux, des rapports de formes, des conditions appliquées aux limites du VER, et de bien d’autres paramètres. Il a été conclu qu’il n’existe pas de définition générale de la taille d’un VER, et qu’il est préférable de faire plusieurs évaluations sur différents échantillons et de faire la moyenne des résultats afin d’obtenir les propriétés effectives du matériau.