Calcul statique (élastique et plastique) d’une structure métallique

L’Eurocode 2 :

Pour les vérifications à l’état limite ultime des structures en béton armé, il est possible d’utiliser une analyse rigide plastique. Les déformations élastiques des éléments, des liaisons et des fondations étant faibles par rapport aux déformations plastiques. Les déformations plastiques sont concentrées dans les sections où les rotules plastiques sont susceptibles de se former. Il est alors nécessaire de s’assurer que la ductilité des sections critiques est suffisante pour que le mécanisme envisagé puisse se produire. En partant du fait que le chargement maximal qu’une structure donnée peut supporter correspond à celui pour lequel l’effondrement se produit en raison de l’apparition d’un mécanisme plastique réaliste, l’analyse consiste à identifier le mécanisme critique. La charge maximale (c’est-à-dire la charge d’effondrement) peut être obtenue par l’application directe des théorèmes fondamentaux du calcul plastique. Ces théorèmes fondamentaux sont les théorèmes de limite inférieure et de limite supérieure, connus également sous les noms de théorème statique et théorème cinématique respectivement.

Un troisième théorème, le théorème d’unicité, dit que, lorsque les conditions des deux théorèmes statique et cinématique sont satisfaites simultanément par un mécanisme donné pour le système de chargement étudié, la condition d’effondrement (charge, position, déplacement…) est trouvée. Les exigences de ductilité, liées à la formation de rotules plastiques, peuvent être réputées satisfaites sans vérification explicite si les conditions suivantes sont vérifiées : – les armatures de béton armé appartiennent soit à la classe B soit à la classe C, – le rapport des moments sur appuis intermédiaires aux moments en travée est compris entre 0,5 et 2, – l’aire de la section des armatures tendues est limitée de telle sorte que, quelle que soit la section considérée, xu/d≤0,25 pour les bétons de classe de résistance ≤ C50/60 ou, xu/d≤0,15 pour les bétons de classe de résistance ≥ C55/67 Dans le cas contraire, une méthode simplifiée applicable aux poutres et aux dalles continues portant dans une seule direction est proposée. Il convient tout d’abord de vérifier que xu/d≤0,45 pour les bétons de classe de résistance ≤ C50/60 ou que xu/d≤0,35 pour les bétons de classe de résistance ≥ C55/67. La vérification de la rotation plastique à l’état limite ultime est considérée comme satisfaite si l’on montre que, sous l’action considérée, la rotation calculée, θs est inférieure ou égale à kλθpl,d où θpl,d est la rotation plastique admissible donnée figure 1 et kλ le coefficient de correction dépendant de l’élancement vis-à-vis de l’effort tranchant. La figure 1.6 donne les rotations plastiques admissibles pour les bétons de classe de résistance inférieure à C50/60 ou égale à C90/105. Pour les classes de résistance comprises entre C50/60 et C90/105 la valeur de la rotation plastique admissible pourra être interpolée.

Calcul du moment plastique pour une section en béton armé :

Sans exposer les formules mathématiques nécessaires au calcul d’un moment plastique (ou d’une courbe moment-courbure), on exposera les concepts de la théorie générale qui sert de base générale à ce type de calcul . Cette dernière est basée sur les cinq hypothèses fondamentales : [8]

a) La théorie de flexion pour le béton armé suppose que le béton se fissure dans les régions des contraintes de traction et que, après fissuration, toutes les contraintes de traction sont portées par les armatures. On suppose également que la section droite d’une pièce demeure plane après déformation, de sorte qu’à travers la section la distribution des déformations est linéaire.

b) L’état limite à la ruine est obtenu quand la déformation relative dans le béton εcc à la fibre la plus comprimée atteint une valeur spécifique εcu (les principaux codes la prennent égale à 3500.106).

c) A la rupture (image instantanée de la ruine), la distribution des contraintes de compression dans le béton est définie par un bloc parabole-rectangulaire représente la distribution à la rupture quand les déformations compressives sont dans la marge plastique et elle est associée à la conception pour l’état limite ultime.

d) Le bloc rectangulaire équivalent de contrainte est une alternative simplifiée à la distribution parabole-rectangle.

e) Car il y a une compatibilité de déformations entre l’armature et le béton adjacent, les déformations d’acier dans la traction, εst, et dans la compression, εsc, peuvent être déterminées à partir du diagramme de déformations.

Les avantages de l’analyse statique non linéaire :

La procédure statique non linéaire est supposée donner des informations sur beaucoup de caractéristiques de la réponse qui ne peuvent pas être obtenues à partir d’une procédure dynamique non linéaire, dans ce qui suit, on présentera des exemples de telles caractéristiques:[11]

1- Les demandes réalistes en termes de forces dans les éléments potentiellement fragiles telles que les demandes en forces axiales dans les poteaux, les demandes en forces dans les connexions des contreventements, les demandes en moments dans les connexions poteaux- poutres, et les demandes en cisaillement dans les poutres épaisses.

2- Estimations des demandes en déformations pour les éléments qui doivent se déformer inélastiquement pour dissiper l’énergie provenant des séismes.

3- Les conséquences de la détérioration de la rigidité des éléments individuels sur le comportement global de la structure.

4- Identification des zones critiques dans lesquelles les demandes en déformation sont supposées être particulières durant la conception. 5- Identification des discontinuités des résistances en plan ou en élévation qui résultent des modifications des caractéristiques dynamiques dans le domaine non linéaire.

6- Estimation des déplacements entre les niveaux qui tiennent compte des discontinuités des résistances ou des rigidités et qui peuvent être utilisés pour contrôler l’endommagement et pour évaluer l’effet P-Δ.

7- Vérification de la complétude du chemin de chargement considérant tous les éléments de la structure, les éléments non structuraux rigides ainsi que les fondations.

Conclusion générale et perspectives :

Ce projet de fin d’études avait pour but de développer notre autonomie, organisation de projet et personnel, responsabilité, et à créer une dynamique de binôme et l’esprit d’un travail collectif, et bien sûr à intégrer et mettre en pratique les enseignements reçus dans notre formation universitaire, et qui nous a permet d’affirmer notre savoir-faire et à évaluer notre compétence. Techniquement, l’évolution actuelle que connait le domaine de génie civil, en termes de dimensionnement a permis le développement des conceptions et méthodes de construction, qui permettent la réalisation des ouvrages avec des nouvelles formes plus esthétique, moderne, stable, et confortable. L’objectif de ce travail était d’introduire le comportement plastique et de faire une comparaison entre un dimensionnement plastique et élastique. Notre objectif était de faire un dimensionnement plastique de quelques éléments structuraux (poutres,..) ; ensuite de calculer le gain du poids de ce type de dimensionnement.

Si la flèche n’est pas dominante l’analyse plastique a un intérêt économique exceptionnelle (cas des structures en charpente métallique), le gain procurer pour cette analyse dépasse les 60%. Le calcul plastique n’est pas toujours dimensionnant, la flèche est parfois dominante (le dimensionnement des structures en béton armé ne change pas pour les deux types d’analyses) ; la section du ferraillage change légèrement ce qui nous donne un gain du poids de plus de qui varie entre 20 et 70%. En Algérie, le calcul statique plastique n’est pas encore considéré, car l’ingénieur est obligé de suivre la réglementation qui exige un dimensionnement élastique. Les eurocodes sont beaucoup plus développés que la réglementation algérienne et permettent de réaliser ce type de dimensionnement tout en apportant les justifications nécessaires. Pour le calcul sismique, le constat est différent. Le dimensionnement plastique est bien réglementé en Algérie et ailleurs même si les vérifications nécessaires (capacité de rotation) ne sont pas encore claires dans la réglementation algérienne. Les résultats de calcul plastique ne sont valables que si la capacité de rotation des sections est vérifiée (EC2, EC3, EC8). Nous avons posé une pierre dans ce vaste domaine. Espérant que ce travail sera utile pour des travaux futurs.