Calcul des structures par éléments ﬁnis

Outil d’aide au dimensionnement

Le but du dimensionnement des structures est de déterminer les formes, dimensions, matériaux aﬁn de satisfaire la fonction demandée. On peut distinguer deux grands types de chargement sur une structure : 1. chargement en fonctionnement normal, 2. chargement en situation extrème. Pour les situations extrèmes, l’étude est souvent dynamique en non-linéaire. Les critères de dimensionnement sont souvent liés à la sécurité, par exemple : — les passagers d’un véhicule automobile sont-ils bien protégés en cas de choc? — suite à un seisme et en fonction de son intensité, combien de temps un barrage va t-il tenir? Concernant les chargements en fonctionnement normal (étude linéaire le plus souvent), on peut répertorier les cas suivants : — Statique : — Les contraintes sont-elles dans le domaine élastique? — Les déplacements sont-ils acceptables? — Y-a-t-il un risque de ﬂambage? — Dynamique, analyse modale : — Les fréquences propres sont-elles proches des fréquences d’excitation? — Les formes des modes sont-elles acceptables par rapport à l’utilisation?— Dynamique, analyse fréquentielle : — Comment la structure répond à une sollicitation harmonique? — Que valent les amortissements? — Quelle est la durée de vie de la structure en fatigue? — Dynamique, transitoire, domaine temporel : — Comment la structure répond à un choc? La méthode des éléments ﬁnis peut être utilisée dans tous ces cas comme aide au dimensionnement.

Du réel au modèle mathématique mécanique

Problème réel

On se place dans le cadre d’un problème de statique, élastique et linéaire. Le problème réel fait intervenir (Fig. I.1) : — Une structure, comprenant des incertitudes sur sa géométrie et son matériau; — Des liaisons avec l’extérieur, souvent assez mal maitrisées; — Des efforts appliqués, parfois assez complexes. Lors de la phase de conception, la solution de ce problème n’est pas accessible.Une fois la structure fabriquée et placée dans son environnement, la solution est partiellement accessible par des mesures (jauges de déformation, photoélasticité,… ).

Modéle mathématique mécanique

Aﬁn de trouver une solution approchée mathématique du problème réel, on utilise un modèle mathématique du problème réel. Les modèles généralement utilisés en mécanique sont : — le modèle de poutre, — le modèle de plaque, — le modèle de coque,— le modèle plan en contraintes planes, — le modèle plan en déformations planes, — le modèle axisymétrique, — le modèle tri-dimensionnel. Pour l’exemple précédent d’un pied de table, on peut par exemple choisir : — Le modèle de poutre (Fig. I.2 a) : — hypothèse cinématique de poutre — 1 variable le long de l’axe de la poutre décrit le problème — encastrement de type poutre — torseurs d’efforts équivalents — Le modèle de coque (Fig. I.2 b) : — hypothèse cinématique de coque — 2 variables sur la surface moyenne de la coque décrivent le problème — encastrement de type coque — torseurs d’efforts équivalents distribués — Le modèle tri-dimensionnel (Fig. I.2 c) : — encastrement tri-dimensionnel — 3 variables dans les 3 directions de l’espace décrivent le problème — forces surfaciques distribuées Pour les trois modèles proposés, l’encastrement est modélisé de façon parfaite alors que la liaison réelle est réalisée par une pièce intermédiaire souple. Ces modèles ne permettent pas de dimensionner cette pièce intermédiaire. C’est au concepteur de choisir le modèle le plus adapté par rapport aux critères de dimensionnement qu’il pense être les plus judicieux.

Déﬁnitions et propriétés d’un espace vectoriel

Combinaison linéaire d’une famille de vecteurs Soit une famille F de n vecteurs de V : F = ( −→ u 1,−→ u 2,…,→− u n ) Tous vecteur −→ v ∈ V s’écrivant sous la forme a1 × −→ u 1+a2 × −→ u 2+…+an × −→ u n où a1,a2,…,an ∈ R est dit combinaison linéaire de la famille F.
Famille libre et famille liée d’un espace vectoriel Une famille est dite libre si chaque vecteur de la famille ne peut pas s’écrire comme une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. Si une famille n’est pas libre, elle est liée, c’est à dire que au moins un vecteur de la famille peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
Base et dimension d’un espace vectoriel Une base est une famille libre qui permet d’écrire n’importe quel vecteur de l’espace vectoriel comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base. Il existe une inﬁnité de bases pour un espace vectoriel, mais elles ont toutes le même nombre de vecteurs. La dimension d’un espace vectoriel est le nombre de vecteurs d’une base de cet espace vectoriel. Si les bases n’ont pas un nombre ﬁni de vecteurs, l’espace vectoriel est de dimension inﬁnie.