Démarche d’estimation de l’erreur de modèle

Idée générale

Ne connaissant pas la valeur exacte Iexelas, on ne peut pas directement estimer l’erreur de modèle en appliquant la méthode mise en place dans les chapitres précédents.
L’idée retenue alors est semblable à celle utilisée dans [Moës 1996] pour la construction d’indicateurs d’erreur en espace, en temps et en itération.
Nous postulons donc que la discrétisation spatiale des problèmes viscoélastique et élastique modifie peu l’erreur de modèle ; ceci est motivé par le fait que l’erreur de modèle est due à une non-prise en compte de la viscosité qui est un phénomène temporel.
On peut dès lors utiliser notre méthode d’estimation d’erreur avec pour nouveau mo-dèle de référence le modèle de viscoélasticité continu en temps mais déjà discrétisé en espace avec le maillage Mh.
Remarque : Nous n’utilisons pas ici les bornes prenant en compte les effets d’histoire car la viscosité étant très grande, la mémoire du matériau est très longue. De ce fait, les sources d’erreur locale ne sont pas localisées en temps (cf. chargement du problème adjoint sur la Figure 7.4).
Notons que l’estimateur de ΔImod,app obtenu par l’encadrement (7.12) n’est qu’un in-dicateur de l’erreur de modèle ΔImod car il n’en donne pas un encadrement garanti cf. approximation (7.1) ; il est cependant asymptotiquement exact i.e. il converge vers ΔImod lorsque la discrétisation spatiale devient très fine.

Résultats numériques

On reprend l’exemple simple 2D de la Figure 2.16, en prenant cette fois des coefficients de viscosité très grands (cf. Annexe D). Nous nous intéressons à l’estimation de la quantité locale
On voit donc que l’hypothèse (7.1) est assez bien vérifiée et que la contribution de l’erreur de modèle n’est pas négligeable dans l’erreur totale.
Le chargement du problème adjoint, permettant d’estimer ΔImod,app, consiste en une précontrainte σ˜Σ dans la zone ω, dont les composantes σ˜Σxx et σ˜Σyy sont non nulles et ont une évolution temporelle, donnée sur la Figure 7.4, qui est assez lente sur [0, T ]. Ceci est dû au fait que les temps de réponse caractéristiques de la viscosité τi sont très longs dans ce cas.
L’encadrement de ΔImod,app est très précis. Cela est dû au fait que le chargement du problème adjoint varie peu en temps donc l’erreur en dissipation associée à ce problème adjoint est très faible. Ce n’est pas le cas lorsque la viscosité est plus faible ; on a alors un chargement qui évolue comme sur la Figure 7.5 et on a besoin d’un fort raffinement du maillage temporel pour obtenir un encadrement pertinent.

Bilan

Une estimation simple de l’erreur de modèle, bien que non garantie, est possible à par-tir de la méthode d’estimation d’erreur locale mise en place dans les chapitres précédents. Il suffit pour cela de changer le modèle pris pour référence en considérant le problème discret en espace, et il n’est pas nécessaire de calculer une solution supplémentaire.
Nous avons considéré ici le cas où on remplace le modèle viscoélastique de référence par un modèle de calcul élastique. Nous pouvons également considérer le cas où le modèle de référence est un modèle élastique. On peut alors estimer l’erreur locale de discrétisa-tion à partir de notre méthode générale, en prenant un modèle plus complexe de type viscoélastique et en contrôlant l’erreur de modèle occasionnée. La solution élastique est ainsi vue comme une approximation de la solution viscoélastique prise à l’instant final T .
Néanmoins, l’approximation de l’erreur de discrétisation est fiable si on maîtrise l’er-reur de modèle i.e. si l’erreur de modèle reste négligeable par rapport à l’erreur totale. En pratique, cela revient à prendre une viscosité très forte comparée à l’intervalle de temps d’étude.

Écriture du problème discret en espace

On désigne par Uh[0,T ] l’ensemble des déplacements de type éléments finis définis sur [0, T ] × Ω et par Sh[0,T ] l’ensemble des contraintes définies sur [0, T ] × Ωh, Ωh représentant l’ensemble des points d’intégration du maillage Mh qui discrétise spatialement la struc-ture.

Calcul des indicateurs d’erreur de modèle

Le problème de référence étant défini, on applique rigoureusement la méthode d’esti-mation d’erreur locale présentée dans le Chapitre 3.
Le problème de référence étant défini, on applique rigoureusement la méthode d’esti-mation d’erreur locale présentée dans le Chapitre 3.

Construction des champs admissibles

Une solution admissible pour les problèmes de référence et adjoint (discrets en es-pace) est une solution qui vérifie, sur tout l’intervalle de temps, les équations de liaison, l’équilibre au sens des éléments finis sur le maillage Mh, ainsi que les lois d’état et les conditions limites aux points d’intégration de Mh.
De tels champs sont directement donnés par la résolution éléments finis des deux problèmes faite pour estimer l’erreur locale ΔI . On prend donc (eelash, selash) et (˜eh, s˜h) pour solutions admissibles ; aucun calcul supplémentaire n’est alors nécessaire.