CALCUL DES COEFFICIENTS DE TRANSPORT PAR LA METHODE DE MONTE CARLO

Dans les plasmas hors équilibre thermodynamique la résolution de l’équation de Boltzmann est très difficile analytiquement ou numériquement, cela justifie l’utilisation de la méthode Monte Carlo à cause de sa simplicité. Il est utilisé dans de nombreux domaines, en particulier en physique nucléaire et en physique statistique. Par ailleurs, elle connaisse des variantes en traitement du signal sous l’appellation d’algorithmes d’approximation stochastique La Simulation de Monte Carlo SMC est une approche pour résoudre le problème de transport d’électron et d’ion basé sur la simulation numérique du mouvement pour un grand ensemble de particules (électrons dans notre cas), où les processus de collision sont présentes par tirage des nombres aléatoires distribues uniformément.  L’objectif de ce chapitre est de présenter la SMC pour calculer les coefficients de transports dans une décharge électrique (gaz faiblement ionisé), en prenant en considération les différents processus de collisions électron-atome.  On remonte la naissance de la SMC au comte de Buffon (Georges Louis Leclerc 1707- 1788, admis à l’académie des sciences en 1734), qui peut être présenté comme le précurseur de la SMC. En 1777, il posa le problème resté célèbre, dit « des aiguilles » que Laplace (Pierre Simon ; 1749 -1827) reformula en 1812 pour en déduire une méthode de calcul de π basée sur la réalisation d’expériences répétées1 [9].

Le véritable développement de la SMC s’est produit lors de la seconde guerre mondiale (1940 – 1945), lors des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Ainsi, ces méthodes probabilistes ont été utilisées pour résoudre des équations aux dérivées partielles [10]. La SMC est utilisée pour simuler des systèmes déterministes avec des paramètres ou des entrées stochastiques. Le nom est proposé par des scientifiques du projet Manhattan (Stanislaw Ulam, Il est important d’établir la différence fondamentale entre les méthodes de Monte Carlo et la prétendue approche de la moléculaire dynamique. La dernière approche simule explicitement des particules d’essai’ et des particules cible, et si la distance entre elle est assez faible il se produit un phénomène de collision, ou les particules sont assimilées a des boules de billard, la détermination des équations de mouvement est assurée par la résolution des équations d’Hamilton.  La méthode de Monte Carlo pour déterminer les propriétés de transport d’électron ne fonctionne pas de cette façon. Elle est basée sur le calcul ‘ des libres temps de vol ‘ pour la particule d’essai, entre deux collisions successives, le mouvement des particules est supposé uniforme. Ces temps sont calculés en produisant des nombres aléatoires prélevés d’une distribution uniforme, on suppose que les processus de collision sont binaires et instantanés. Cette technique de simulation est directe, mais peut numériquement conduire à des erreurs relatives sur les quantités macroscopiques dues aux fluctuations statistiques. Ces erreurs diminuent lentement avec le nombre n d’échantillons (de l’ordre de

Dans ce type de simulations, un grand nombre d’électrons est simulés. On peut suivre chaque électron dés son émission jusqu’à sa dispersion dans le gaz. La simulation des électrons secondaires peut se poursuivre jusqu’à ce que toute son énergie soit cédée aux molécules du gaz. Entre deux collisions successives, les mouvements de l’électron sont conditionnés par la force extérieure d’origine électrique et magnétique (les champs sont uniformes).Les trajectoires des électrons sont déterminées par résolution de l’équation de Newton.  Dans la simulation de Monte Carlo on utilise seulement les formules physiques des paramètres de transport (les lois de la mécanique classique). Le champ électrique et le champ magnétique influencent particulièrement sur les composantes du vecteur vitesse (influence sur l’énergie cinétique) et les composantes du vecteur position. Les coefficients de transport sont calcules à partir des composantes de vitesse et de position.