Bande innie

Figure 3.1 – Notations pour la bande infinie B. Dans ce paragraphe, nous travaillerons dans la bande infinie B := {(t, θ) ∈ R × ]a; b[} avec a < 0 et b > 0. Introduisons B1 := R × ]a; 0[, B2 := R × ]0; b[, Σ := R × {0}, Γ1 := R × {a} et Γ2 := R × {b}. De façon générale, si v est une fonction mesurable sur B, nous définissons v1 := v|B1 et v2 := v|B2 . En 1D, pour la section transverse, nous noterons respectivement (·, ·), (·, ·)1, (·, ·)2 les produits scalaires de L 2 (]a; b[), L 2 (]a; 0[), L 2 (]0; b[). Par contre, pour les normes, nous maintenons les écritures ∥ · ∥]a;b[ , ∥ · ∥]a;0[, ∥ · ∥]0;b[ . Si φ est une fonction mesurable sur ]a; b[, nous définissons φ1 := φ|]a;0[ et φ2 := φ|]0;b[ . 3.1.1 Espaces de Sobolev à poids dans la bande : définitions, rappels Pour mesurer finement le comportement des fonctions à l’infini dans la bande B, nous allons introduire une famille d’espaces de Sobolev à poids. Pour β ∈ R et m ∈ N, définissons Wm β (B) := { v ∈ L 2 loc(B)| e βtv ∈ H m(B) } . L’espace Wm β (B) sera muni de la norme ∥v∥Wm β (B) := e βtv Hm(B) . (3.1) 70 Chapitre 3. Résultats de régularité Nous noterons W˚ m β (B) la fermeture de C ∞ 0 (B) dans Wm β (B). Effectuons quelques remarques concernant ces espaces. Tout d’abord remarquons que pour tout m ∈ N, on a Wm 0 (B) = Hm(B). En particulier, l’espace W0 0 (B) est égal à L 2 (B). Si m ≥ n ≥ 0, on observe que Wm β (B) ⊂ Wn β (B) pour tout β ∈ R. Par contre, si β 1 et β 2 sont deux réels vérifiant β 1 ̸= β 2 , alors d’une part Wm β1 (B) ̸⊂ Wm β2 (B), d’autre part Wm β1 (B) ̸⊃ Wm β2 (B). On peut expliquer cette d’absence d’inclusion de la façon suivante. Pour m ∈ N fixé, plus β est grand, plus la contrainte pour les éléments de Wm β (B) est forte (resp. faible) en +∞ (resp. −∞). Pour m ≥ 1, définissons W m−1/2 β (∂B) l’espace des traces des éléments de Wm β (B) sur la frontière ∂B. Cet espace est muni de la norme ∥v∥Wm−1/2 β (∂B) := inf { ∥w∥Wm β (B) | w ∈ Wm β (B) et w = v sur ∂B } . (3.2) L’espace W m−1/2 β (∂B) est égal à l’espace des fonctions v de ∂B telles que e βtv ∈ Hm−1/2 (∂B) et la norme (3.2) est équivalente à la norme ∥v∥ = e βtv Hm−1/2(∂B) . (3.3) Définissons la transformée de Laplace Lt→λ par rapport à la variable t. vˆ(λ) := (Lt→λv)(λ) = ∫ +∞ −∞ e −λtv(t) dt. (3.4) Rappelons quelques propriétés de cette transformée de Laplace (cf. [102, lemme 5.2.3]). Lemme 3.1.1 1) La transformée de Laplace (3.4) définit une application linéaire continue de C ∞ 0 (R) dans l’espace des fonctions analytiques du plan complexe. D’autre part, on a Lt→λ(∂tv) = λLt→λv pour tout v ∈ C ∞ 0 (R). 2) Pour tout u, v ∈ C ∞ 0 (R) on a la formule de Parseval ∫ +∞ −∞ e 2βtu(t)v(t) dt = 1 2πi ∫ ℜe λ=−β uˆ(λ)vˆ(λ) dλ. (3.5) L’intégration dans le terme de droite de (3.5) se fait sur ℓ−β := {λ = −β + iτ, τ ∈ R}. Ainsi, la transformée (3.4) peut être prolongée en un isomorphisme L 2 β (R) → L 2 (ℓ−β), où L 2 β (R) = W0 β (B) est l’espace de Hilbert muni du produit scalaire défini par le terme de gauche de (3.5). 3) La transformée de Laplace inverse est donnée par la formule v(t) := (L −1 λ→t vˆ)(t) = 1 2πi ∫ ℓ−β e λtvˆ(λ) dλ. 4) Si v ∈ L 2 β1 (R) ∩ L 2 β2 (R), avec β 1 < β2 , alors λ 7→ vˆ(λ) = (Lt→λv)(λ) est holomorphe dans la bande −β 2 < ℜe λ < −β 1 . En utilisant ces propriétés, on peut démontrer le lemme d’équivalence de normes suivant (cf. [102, lemme 5.2.4]). Lemme 3.1.2 Pour β ∈ R et m ∈ N, la norme (3.1) est équivalente à la norme ∥v∥ = ( 1 2πi ∫ ℓ−β ∥vˆ(λ, ·)∥ 2 Hm(]a;b[) + |λ| 2 m ∥vˆ(λ, ·)∥ 2 ]a;b[ dλ)1/2 . (3.6) 3.1. Bande infinie 71 Ce lemme nous conduit à introduire la norme à paramètre ∥v∥Hm(]a;b[, λ) := ( ∥v∥ 2 Hm(]a;b[) + |λ| 2 m ∥v∥ 2 ]a;b[ )1/2 , ∀v ∈ H m(]a; b[ . (3.7) À λ fixé, cette norme est équivalente à la norme de Hm(]a; b[). Dans notre étude, nous aurons également besoin du lemme 3.6.3 de [102] donnant une norme équivalente à cette norme à paramètre. Lemme 3.1.3 Soient ζ un élément non nul de C ∞ 0 (R) à valeurs réelles et λ un imaginaire pur. Alors il existe des constantes C1 et C2 indépendantes de λ telles que pour u ∈ Hm(]a; b[), m ≥ 0, on ait C1 ∥v∥ 2 Hm(B) ≤ ∥u∥ 2 Hm(]a;b[, λ) ≤ ∑m j=0 |λ| 2 j ∥u∥ 2 Hm−j (]a;b[) ≤ C2 ∥v∥ 2 Hm(B) , où la fonction v sur B est définie par v(t, θ) = e λtζ(t)u(θ). On a bien entendu les mêmes définitions et résultats pour les espaces définis sur B1 et B2. Pour m ≥ 0, définissons l’opérateur continu Bm β : D(Bm β ) → R(Bm β ) tel que Bm β u = f avec (f1, f2) := (−σ1∆u1, −σ2∆u2); D(Bm β ) := { u ∈ W˚1 β (B)|(u1, u2) ∈ Wm+2 β (B1) × Wm+2 β (B2) et σ1∂θu1 = σ2∂θu2 sur Σ } ; R(Bm β ) := { f ∈ L 2 β (B)|(f1, f2) ∈ Wm β (B1) × Wm β (B2) } . Insistons : ci-dessus f1 et f2 (resp. u1 et u2) désignent les restrictions de f (resp. u) à B1 et B2. L’opérateur Bm β est l’opérateur naturellement associé au problème de transmission Trouver (u1, u2) ∈ Wm+2 β (B1) × Wm+2 β (B2) tel que : −σ1∆u1 = f1 dans B1 −σ2∆u2 = f2 dans B2 u1 − u2 = 0 sur Σ σ1∂θu1 − σ2∂θu2 = 0 sur Σ u1 = 0 sur Γ1 u2 = 0 sur Γ2, (3.8) avec (f1, f2) ∈ Wm β (B1) × Wm β (B2). Notons que ce problème de transmission n’est autre que la réécriture de −div(σ ∇u) = f où σ est la fonction vérifiant σ = σ1 sur B1 et σ = σ2 sur B2. 

Bande symétrique infinie

Nous allons d’abord faire l’hypothèse −a = b. Autrement dit, nous supposerons que B est symétrique par rapport à la droite {(t, 0), t ∈ R}. Théorème 3.1.4 L’opérateur B0 0 constitue un isomorphisme de D(B0 0 ) dans R(B0 0 ) si et seulement si κσ ̸= −1. Remarque 3.1.5 Pour m = β = 0, les espaces D(Bm β ) et R(Bm β ) sont relativement simples. On a en effet D(B0 0 ) = {u ∈ H1 0 (B)|(u1, u2) ∈ H2 (B1) × H2 (B2) et σ1∂θu1 = σ2∂θu2 sur Σ} et R(B0 0 ) = L2 (B). 72 Chapitre 3. Résultats de régularité Preuve. Lorsque κσ = −1, on peut construire comme dans la preuve du Théorème 1.5.1 un noyau de dimension infinie pour B0 0 . Ceci prouve que B0 0 n’est pas de type Fredholm dans cette configuration. Nous supposerons désormais κσ ̸= −1. La preuve que nous allons présenter constitue la base de la théorie de ce chapitre. De façon non exhaustive, nous renvoyons le lecteur à [102, théorème 5.2.2], [114, théorème 1.1.1] ou [119, proposition 2.2.1] pour des démonstrations analogues dans le cas simple de l’opérateur Laplacien avec condition aux limites de Dirichlet. Insistons de nouveau, ce dernier opérateur contrairement à celui que nous souhaitons étudier est elliptique. Donnons-nous u ∈ D(B0 0 ) et notons f := B0 0u. En appliquant la transformée de Laplace par rapport à t dans (3.8), on obtient pour tout λ ∈ Ri , −σ1(λ 2 + ∂ 2 θ )ˆu1(λ, θ) = ˆf1(λ, θ) −σ2(λ 2 + ∂ 2 θ )ˆu2(λ, θ) = ˆf2(λ, θ) uˆ1(λ, 0) − uˆ2(λ, 0) = 0 σ1∂θuˆ1(λ, 0) − σ2∂θuˆ2(λ, 0) = 0 uˆ1(λ, −b) = 0 uˆ2(λ, b) = 0. (3.9) Introduisons alors le symbole L (λ) : D(L ) → L 2 (]−b; b[) tel que L (λ)φ = g avec (g1, g2) := (−σ1(λ 2 + d 2 θ )φ1, −σ2(λ 2 + d 2 θ )φ2) ; D(L ) := { φ ∈ H1 0 (]−b; b[)|(φ1, φ2) ∈ H2 (]−b; 0[) × H2 (]0; b[) et σ1dθφ1(0) = σ2dθφ2(0)} . Nous souhaitons à présent étudier les propriétés de L (λ). Dans la suite, la dérivée par rapport à la variable θ sera tantôt notée « dθ· », tantôt « · ′ ». Lemme 3.1.6 Si κσ ̸= −1 alors L (λ) définit un isomorphisme de D(L ) dans L 2 (]−b; b[) pour tout λ ∈ Ri. Preuve. Pour simplifier les notations, introduisons τ = iλ ∈ R. Définissons la forme sesquilinéaire a telle que pour tout φ, ϕ dans H1 0 (]−b; b[), a(φ, ϕ) = σ1(φ ′ 1 , ϕ′ 1 )1 + τ 2σ1(φ1, ϕ1)1 + σ2(φ ′ 2 , ϕ′ 2 )2 + τ 2σ2(φ2, ϕ2)2. Comme dans le Chapitre 1, nous constatons que la forme a n’est pas coercive. Nous allons donc utiliser la technique de la T-coercivité en 1D. À cet effet, introduisons la symétrie s telle que s(θ) = −θ pour θ ∈ [−b; b] et les isomorphismes de H1 0 (]−b; b[) tels que pour φ ∈ H1 0 (]−b; b[), T1φ = { φ1 sur ]−b; 0[ −φ2 + 2 φ1 ◦ s sur ]0; b[ ; T2φ = { φ1 − 2 φ2 ◦ s ]−b; 0[ −φ2 ]0; b[ . Pour tout φ ∈ H1 0 (]−b; b[) et η > 0, on a, |a(φ, T1φ)| = |σ1(φ ′ 1 , φ′ 1 )1 + τ 2σ1(φ1, φ1)1 + |σ2|(φ ′ 2 , φ′ 2 )2 + τ 2 |σ2|(φ2, φ2)2 +2σ2(φ ′ 2 ,(φ1 ◦ s) ′ )2 + 2τ 2σ2(φ2,(φ1 ◦ s))2| ≥ σ1(φ ′ 1 , φ′ 1 )1 + τ 2σ1(φ1, φ1)1 + |σ2|(φ ′ 2 , φ′ 2 )2 + τ 2 |σ2|(φ2, φ2)2 −η|σ2|(φ ′ 2 , φ′ 2 )2 − ητ 2 |σ2|(φ2, φ2)2 − |σ2|/η(φ ′ 1 , φ′ 1 )1 − τ 2 |σ2|/η(φ1, φ1)1. Ainsi, si σ1 > |σ2|, il existe C > 0 indépendante de τ telle que |a(φ, T1φ)| ≥ C((φ ′ , φ′ ) + τ 2 (φ, φ)), ∀φ ∈ H 1 0 (]−b; b[). (3.10) 3.1. Bande infinie 73 De même, on montre que si σ1 < |σ2|, il existe C > 0 indépendante de τ telle que |a(φ, T2φ)| ≥ C((φ ′ , φ′ ) + τ 2 (φ, φ)), ∀φ ∈ H 1 0 (]−b; b[). (3.11) En procédant comme dans la preuve du Théorème 1.1.1 du Chapitre 1, on déduit que si κσ ̸= −1, pour tout g ∈ H−1 (]−b; b[), il existe un unique φ ∈ H1 0 (]−b; b[) tel que a(φ, ϕ) = ⟨g, ϕ⟩, ∀ϕ ∈ H 1 0 (]−b; b[). Ici, ⟨·, ·⟩ désigne le crochet de dualité H−1 (]−b; b[) × H1 0 (]−b; b[). Si maintenant g est dans L 2 (]−b; b[) alors d 2 θφ1 est dans L 2 (]−b; 0[) donc φ1 ∈ H2 (]−b; 0[). De même, φ2 ∈ H2 (]0; b[). On peut alors affirmer que si κσ ̸= −1, L (λ) est bijectif de D(L ) dans L 2 (]−b; b[). Puisque L (λ) est continu, le théorème de Banach permet de conclure que L (λ) est un isomorphisme de D(L ) dans L 2 (]−b; b[). Reprenons la preuve du Théorème 3.1.4. Si u ∈ D(B0 0 ) vérifie B0 0u = f, on a L (λ)ˆu(λ, ·) = ˆf(λ, ·) et donc uˆ(λ, ·) = L (λ) −1 ˆf(λ, ·) pour tout λ ∈ Ri. Pour pouvoir effectuer la transformée de Laplace inverse, il faut contrôler la norme de L (λ) −1 . Attelons-nous à cette tâche. Considérons φ ∈ D(L ) et notons g = L (λ)φ. Supposons σ1 > |σ2| et repartons de (3.10) (le cas σ1 < |σ2| se traite similairement en travaillant à partir de l’estimation (3.11)).