Automatisation du pilotage au sol pour la
navigation aéroportuaire

Linéarisation entrée/sortie et commande non linéaire inverse 

L’ensemble des techniques qui seront abordées dans le reste de ce chapitre se base en partie sur une inversion de la dynamique du système, représentée sous la forme d’une équation liant la dynamique de la sortie considérée à l’entrée du système. Cette équation est obtenue par dérivation successive de la sortie (y). Le degré de dérivation nécessaire à l’obtention de cette relation est appelé le degré relatif (ρ). Ces dérivations successives permettent de représenter la dynamique liant l’entrée et la sortie du système (dynamique externe) sous la forme d’une équation algébrique unique et d’une série d’intégrateurs. En inversant cette relation et en l’utilisant pour solliciter l’entrée du système (u), il devient possible de commander directement l’évolution de cette dérivée ρ ème de la sortie. Cette inversion a alors pour effet de « contrer » la dynamique propre de la sortie pour la rendre comparable à la dynamique obtenue avec une chaîne d’intégrateurs. 

La linéarisation entrée/sortie 

Cette technique s’appuie sur la méthode d’inversion de la dynamique du système énoncée de manière synthétique ci-dessus. De nombreuses présentations détaillées de cette technique existent dans la littérature, on peut notamment citer [Isidori 1981], [Isidori 1995], [Slotine 1991]. En reprenant cette méthode d’inversion sous un formalisme mathématique adéquat, on définit le degré relatif de l’unique sortie du système (cas SISO ici) par un entier positif satisfaisant les conditions (dérivée de Lie de h suivant f) f = ∇ et, x h h ∂ ∂ ∇ = ( ∇h est le gradient de h) Si l’entrée (« u ») a une quelconque influence sur la sortie du système, ce degré relatif est défini. Il est alors inférieur ou égal à l’ordre du système. Si, de plus, est inversible par rapport à u dans le domaine de fonctionnement considéré (domaine de R ρ 1- L Lfg n ), il existe alors une relation causale directe entre la dérivée ρ ème de la sortie et la commande du système Commande des systèmes non linéaires : éléments théoriques Linéarisation entrée/sortie et commande non linéaire inverse Chapitre 2 – page 10 Cette relation peut être mise à profit grâce à une transformation de l’état du système par un difféomorphisme Φ(x) de R n dans R n , pour obtenir une nouvelle représentation d’état qui adopte le vecteur d’état : Φ( ) x η ξ xˆ ≡       ≡ (2.20) avec, Cas où le degré relatif est égal à l’ordre du système : Si le degré relatif est égal à l’ordre du système (on a alors xˆ = ξ ), ce difféomorphisme permet d’exprimer totalement la dynamique du système sous une forme compagne (Les fonctions non-linéaire A(.) et B(.) sont introduites de sorte à simplifier les notations.) Afin de compenser les non-linéarités du système et compte tenu des hypothèses d’inversibilité précédentes, on peut choisir u telle que : u B ( ) v,x A( ) x -1 = u − (2.23) -1 Bu est l’inverse de B par rapport à u tel que : B( B ,x ( ) ,x γ ) γ= -1 u (2.24) v est un terme indépendant qui peut être considéré comme une commande auxiliaire. La dynamique de la sortie y est alors ramenée à une chaîne d’intégrateurs : y (ρ) =v. (2.25) Cette commande permet donc de linéariser la dynamique de la sortie (en considérant l’entrée auxiliaire v comme l’entrée du système). Cas où le degré relatif est inférieur à l’ordre du système : Si le degré relatif est d’ordre inférieur à celui du système, la dynamique de ce dernier pourra être décomposée en deux : – la première (Σ1), sous forme compagne, représente la dynamique externe du système ; – la seconde (Σ2), représente la dynamique interne du système. Elle est inobservable à partir de la sortie y. Commande des systèmes non linéaires : éléments théoriques Linéarisation entrée/sortie et commande non linéaire inverse 

Application à la commande de systèmes non linéaires SISO

 Sous réserve de stabilité de la dynamique interne, lorsqu’il y en a une (dynamique de Σ2 dans(2.27)), la loi de commande peut être synthétisée via une technique de commande linéaire appliquée à l’entrée auxiliaire v. On peut amener la sortie à suivre une dynamique prédéfinie du ρ ème ordre en utilisant une commande basée sur un terme correcteur, tel que celui présenté ci-dessous : ( ) (i) ρ 1- 1i v = k0 ⋅ yd − y −∑ki ⋅ y = (2.28) où yd est une valeur de consigne pour la sortie du système qui suivra alors, en théorie, une dynamique linéaire du ρ ème ordre donnée par l’équation différentielle : 0 0 d (i) ρ 1- 1i i )( y +∑k ⋅ y + k ⋅ y = k y = ρ Les lois de commande de type non-linéaires inverses peuvent donc être décomposées en deux sous-ensembles : (2.29) – un bouclage linéarisant n’ayant pas pour but d’asservir le système mais de transformer sa dynamique entrée/sortie, pour l’amener à se comporter comme une chaîne d’intégrateurs. – un correcteur linéaire permettant de réaliser l’asservissement tout en amenant le système à suivre une dynamique entrée/sortie prédéfinie. Commande des systèmes non linéaires : éléments théoriques Linéarisation entrée/sortie et commande non linéaire inverse

Robustesse et stabilité locale

 La commande non-linéaire inverse telle que présentée précédemment (partie 3.3) permet, en théorie, de contrôler entièrement la dynamique de la sortie et donc de garantir la stabilité globale du système. Pour cela , la dynamique du système doit satisfaire les conditions nécessaires d’inversibilité de L et de stabilité de la dynamique interne. Il faut aussi que le modèle de synthèse reste parfaitement représentatif du comportement du système réel, dans tout le domaine de fonctionnement. ρ 1- Lfg Cette seconde hypothèse est, dans la pratique, très rarement satisfaite. En règle générale, le modèle de synthèse est une approximation d’un modèle plus complexe et représentatif, utilisé pour l’évaluation en simulation de la commande. Ce modèle de synthèse doit rester suffisamment simple pour permettre de ne pas générer de lois de commande exagérément complexes. Il doit aussi permettre de satisfaire les hypothèses de synthèse telles que, par exemple, l’hypothèse d’inversibilité de qui interdit implicitement la prise en compte des saturations dans la synthèse des lois de commande. ρ 1- L Lfg La modélisation du système fait aussi souvent appel à des paramètres incertains, peu connus, ou dont la valeur varie aléatoirement (variations supposées quasi-statiques). Enfin, des perturbations extérieures non négligeables peuvent aussi apparaître et influer sur le comportement du système. Dans de telles conditions, les propriétés dynamiques et la stabilité du système commandé ne peuvent plus être garanties, si ce n’est à partir d’une évaluation a posteriori (comme dans le cas de la commande au premier ordre). L’objectif de cette partie est de présenter quelques pistes supplémentaires permettant une telle évaluation a posteriori et ainsi de pallier en partie ce problème souvent présenté comme le talon d’Achille de la commande non-linéaire inverse. Plusieurs études ont déjà porté sur le sujet. On peut notamment citer celle présentée en [Devaud 1999] qui s’intéresse à l’évaluation de la stabilité L2 d’un système commandé face à des erreurs paramétriques. L’approche développée conduit à des conditions de stabilité extrêmement restrictives, compte tenu des majorations adoptées pour les différents termes du modèle et de la commande. En effet, ce calcul ne permet pas de prendre en compte les simplifications pouvant apparaître entre les non-linéarités du modèle et leurs fonctions inverses (dans la commande). L’approche d’analyse proposée ici se base plutôt sur une représentation non-linéaire complète incluant le modèle utilisé, ses termes incertains et la loi nominale de commande non-linéaire inverse (obtenue à partir du modèle de synthèse).