Approche expérimentale de la dynamique non-linéaire d’ondes internes en rotation

Effet de taille finie

Dans le développement théorique précédent, nous avons étudié les propriétés de la TRI dans le cas d’une onde plane monochromatique. En faisant cela, nous avons négligé une propriété importante du faisceau expérimental, sa largeur W. Dans cette partie, nous allons tout d’abord montrer l’importance de ce paramètre, puis nous intègrerons ce paramètre au taux de croissance calculé précédemment. Pour finir, nous rediscuterons du seuil d’instabilité et nous le comparerons à des mesures expérimentales. 3.a Importance de l’effet de taille finie Dans le cas des ondes planes infinies, nous avons montré que le seuil d’instabilité augmentait continuellement avec le paramètre de Coriolis f /N. D’un point de vue océanique, cela signifie que les ondes gravito-inertielles à l’équateur seraient plus sujettes à la TRI que des ondes à de plus hautes latitudes, car la pulsation de Coriolis dépend de la latitude f = 2ΩEarth sin η avec η la latitude. Mais cela ne correspond pas aux observations océaniques existantes, que ce soit dans le cas de simulations numériques (MacKinnon, 2005; MacKinnon et al., 2013b) ou bien d’études in situ (MacKinnon et al., 2013a) qui mettent en lumière l’existence d’une latitude critique à f = ω0/2 où la TRI est fortement renforcée. De plus, les expériences (a) et (b) présentées dans la figure III.3 montrent que la TRI apparaît seulement lorsque la rotation est suffisamment forte, tous les autres paramètres étant gardés identiques. Les prédictions faîtes dans la partie précédente ne sont pas à même d’expliquer ce comportement et montrent même que la rotation semble empêcher l’apparition de la TRI. La différence majeure entre l’expérience et la théorie est dans la forme des faisceaux considérés.  Figure III.7 – (a) Schéma de l’interaction résonante triadique, soulignant l’existence d’une zone d’interaction de largeur W correspondant à la largeur du faisceau de l’onde mère. (b) Profil transverse typique de l’amplitude d’une onde en fonction de la distance transverse η normalisée par la longueur d’onde λ, extrait de la transformée de Hilbert de l’onde de la figure III.3(a). théorie, ils sont infiniment larges, alors que dans l’expérience, ils ont une largeur finie. L’effet de taille finie pour des ondes purement gravitaires (f = 0) a été étudié théoriquement par Karimi et Akylas (2014). Des expériences sur ce phénomène ont aussi été menées par Bourget et al. (2014), qui a proposé un modèle simple pour prendre en compte cet effet de largeur finie du faisceau. La théorie de Karimi et Akylas (2014) et le modèle de Bourget et al. (2014) sont basés sur la même idée: l’interaction triadique doit être suffisamment forte pendant le temps limité où les perturbations subharmoniques se superposent à l’onde primaire. Le processus est schématisé dans la figure III.7(a), où l’on voit les ondes secondaires s’éloigner de la région d’interaction de largeur W avec une vitesse égale à la projection de leur vitesse de groupe sur la direction n⊥ = k0/κ0, perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde primaire. 3.b Modèle Dans l’approche de Bourget et al. (2014), l’évolution de l’amplitude des ondes secondaires est dictée par la vitesse à laquelle ces ondes quittent la région d’interaction qui est |vg,i · n⊥|. Par la suite, nous appellerons cette vitesse le taux d’advection. Ce taux peut être calculé comme le rapport de la vitesse de sortie des ondes divisé par la largeur W du faisceau d’onde primaire. Les équations d’amplitude (III.38) et (III.39) des ondes secondaires deviennent alors: Ψ˙ 1 = I1Ψ0Ψ ∗ 2 − 1 2  νκ2 1 1 + f 2m2 1 κ 2 1ω 2 1 ! + |vg,1 · n⊥| W   Ψ1, (III.46) Ψ˙ 2 = I2Ψ0Ψ ∗ 1 − 1 2  νκ2 2 1 + f 2m2 2 κ 2 2ω 2 2 ! + |vg,2 · n⊥| W   Ψ2 . (III.47) L’existence de la rotation change le temps que passent les ondes secondaires dans le faisceau de deux façons différentes. D’une part, lorsque f augmente, la vitesse de groupe varie, et devient même nulle lorsque f = ω. D’autre part, la direction de propagation des ondes change, puisqu’elle dépend directement de la valeur de f; si les deux ondes étaient colinéaires alors l’onde secondaire ne quitterait jamais l’onde primaire. À l’inverse, lorsque la vitesse de groupe des ondes secondaires vg,(1,2) n’est pas parallèle à vg,0, ou autrement dit lorsque vg,(1,2) n’est pas perpendiculaire à k0, les ondes secondaires vont quitter le faisceau primaire. Les équations (III.46) et (III.47), permettent 74 3. EFFET DE TAILLE FINIE de calculer un taux de croissance modifié, Σ, pour une onde primaire de largeur finie, de la même façon que cela a été fait pour σ dans le cas des ondes planes infinies: Σ = − 1 4  ν κ 2 1 + κ 2 2 + f 2m2 1 ω 2 1 + f 2m2 2 ω 2 2 ! + |vg,1 · n⊥| W + |vg,2 · n⊥| W   + vuuut 1 16  ν κ 2 1 − κ 2 2 + f 2m2 1 ω 2 1 − f 2m2 2 ω 2 2 ! + |vg,1 · n⊥| W − |vg,2 · n⊥| W   2 + I1I2|Ψ0| 2 (III.48) En prenant en compte les valeurs expérimentales typiques, I1I2|Ψ0| 2 est le terme dominant dans la racine de cette équation, ainsi on peut faire l’approxiamtion: Σ = σ − 1 4W (|vg,1 · n⊥| + |vg,2 · n⊥|) + O(ν 2κ 4 1,2 ) + O |vg,1,2 · n⊥| 2 W ! . (III.49) Un faisceau va donc être considéré comme large quand sa largeur W est grande devant une longueur d’onde. Dans ce cas, on retrouve bien Σ = σ. Pour se donner une idée de la largeur typique des faisceaux dans nos expériences, la figure III.7(b) montre le profil typique d’un faisceau mesuré perpendiculairement à la direction de propagation. La largeur effective du faisceau est comprise entre 1.5λ et 3λ. L’importance relative du taux d’advection de chaque onde secondaire, 1/4W|vg,i · n⊥|, vis-àvis du taux de croissance, σ, est tracée sur la figure III.8 en fonction de f /ω0. En se basant sur la figure III.7(b), la largeur choisie pour le faisceau est W = 2λ. Des faibles valeurs de ce rapport indiqueront des cas où la taille finie n’est pas un paramètre limitant pour l’instabilité, car dans ce cas, les ondes secondaires resteront suffisamment longtemps dans le faisceau primaire. D’après les données de la figure III.8(a), qui n’a été tracé avec les paramètres typiques des expériences, on constate que le terme d’advection ne soit pas dominant (ce qui justifie d’ailleurs l’approximation au premier ordre faite dans l’équation (III.49)), mais qu’il n’est pas négligeable. De plus, on observe l’existence d’une plage de f /ω0 où la TRI est plus susceptible d’apparaître. Sur la plage 0 < f /ω0 < 0.45, σmax est relativement constant (voir encart de la figure III.8(a)), mais, sur la plage 0.35 < f /ω0 < 0.45 le temps d’interaction est plus grand (taux d’advection petit), ce qui favorise l’instabilité. La figure III.8(b) montre le même rapport mais pour des ondes gravito-inertielles typiques des océans (caractéristiques extraites de Sun et Pinkel (2013) et Gayen et Sarkar (2013)). Dans ce cas, le taux d’advection est dominant et la plage de f /ω0 favorisant la TRI est grossièrement réduite à une seule valeur proche de f /ω0 = 0.5. Dans l’océan, les faisceaux d’ondes peuvent être extrêmement étroits (Cole et al., 2009; Johnston et al., 2011; Lien et Gregg, 2001). Dans ces cas, on peut faire la supposition que l’effet de taille finie est primordial et que la TRI n’apparaîtra que dans le cas le plus favorable, i.e. f ≃ ω0/2 d’après la figure III.8(b). Ce résultat est en accord avec l’existence de la TRI à une latitude critique correspondant à f = ω0/2 et non pas à l’équateur. MacKinnon (2005) évoque le ralentissement de la vitesse de groupe pour expliquer cette latitude. Cependant l’étude que nous avons présentée explique clairement l’influence de la rotation sur cette vitesse pour toute une plage de valeurs de f et pour deux cas à deux échelles différentes. Le modèle présenté dans cette partie montre que la TRI est favorisée pour certaines valeurs du paramètre de Coriolis. Nous allons maintenant nous intéresser aux expériences et voir si l’on peut retrouver cette caractéristique sur l’instabilité.

INSTABILITÉ TRIADIQUE EN STRATIFIÉ TOURNANT

Figure III.8 – Rapport entre le taux d’advection des ondes secondaires hors du faisceau de l’onde primaire et le maximum du taux de croissance de l’instabilité, en fonction de f /ω0. Ce rapport est tracé séparément pour chacune des ondes secondaires ainsi que pour la somme des taux d’advection, ce qui permet de comparer les deux termes de l’équation (III.49): 1 4 (|vg,1 · n⊥|+|vg,2 · n⊥|)/2λσmax. Encart: Maximum du taux de croissance σmax (normalisé par le taux de croissance maximal à f = 0, σ0). Deux ensembles de paramètres sont considérés; (a) Cas expérimental [ω0/N = 0.8, ℓ0 = 80 m−1 et Re = 188]. (b) Cas océanique, où les paramètres sont tirés de Sun et Pinkel (2013) et Gayen et Sarkar (2013) [ω0/N = 0.1, ℓ0 = 6.3 · 10−2 m−1 et Re = 3.9 · 105 ]. 3.c Prévision du seuil d’instabilité Dans cette partie, nous allons nous focaliser sur la prédiction du seuil expérimental d’instabilité. Pour cela nous allons tout d’abord générer des ondes gravito-inertielles à différentes fréquences ω0 et différents paramètres de Coriolis f tout en gardant l’amplitude des oscillations constante. Garder l’amplitude constante pose problème dans les expériences qui vont suivre. En effet, on constate que le nombre de Reynolds Re diminue si l’on diminue ω0/N. Cela est tout simplement dû au fait que la vitesse du générateur, aω0, est proportionnelle à ω0 et que, de plus, à basses fréquences, les ondes deviennent plus horizontales et le générateur moins efficace (Mercier et al., 2010). Une bonne modélisation de cet effet est de supposer que le nombre de Reynolds est simplement proportionnel à (ω0/N) 2 , ce qui est en accord avec les mesures expérimentales. Ainsi, dans ces expériences, puisque ℓ0 est fixé par le générateur, les ondes peuvent être entièrement décrites par seulement deux paramètres, (ω0/N, f /N). Pour cette raison, le seuil sera un seuil en fréquence et non pas un seuil en amplitude. Dans la figure III.9, on montre les nombreuses expériences réalisées dans l’espace des paramètres. Les cas stables et instables sont indiqués par des symboles différents. Par exemple, pour f /N = 0 l’onde primaire est stable pour ω0/N = 0.66, mais instable pour ω0/N = 0.71, ce qui est en accord avec les études précédentes (Bourget et al., 2014). Ces mesures permettent de localiser le seuil d’instabilité en fréquence, qui se situe entre la plus haute fréquence pour laquelle

EFFET DE TAILLE FINIE

Figure III.9 – Observations expérimentales du caractère stable ou instable par TRI d’ondes primaires de pulsation adimensionnée ω0/N. Les paramètres fixés sont ℓ0 = 80 m−1 , a = 5 mm, ce qui correspond à Re > 100 dans chaque expérience. Le seuil prédit est tracé en ligne pointillée, dans le cas d’une onde de largeur infinie, en ligne tiretée, dans le cas d’un faisceau fini de trois longueurs d’onde de large et en ligne point-tiretée, dans le cas d’un faisceau fini d’une longueur d’onde et demie de large. La zone d’incertitude sur notre prédiction (colorée en vert clair) est liée à l’incertitude sur la taille du faisceau. La zone hachurée correspond à la zone interdite pour la TRI: si f > ω0/2 et s’il y a TRI on aurait alors ω1 + ω2 = ω0 < 2f, ce qui implique que ω1 < f ou ω2 < f. Les symboles plus larges, avec des étiquettes, aident à localiser sur ce graphique les expériences décrites dans les autres figures de ce chapitre. La ligne horizontale indique ω0/N = 0.8 ce qui correspond aux expériences présentées dans la figure III.10. la TRI n’est pas observée et la plus basse fréquence pour laquelle la TRI est observée. Nous avons expliqué précédemment que le nombre de Reynolds varie expérimentalement en (ω0/N) 2 . Ainsi, il est important de noter que l’abaissement du seuil observé entre f /N = 0.12 et f /N = 0.28, devrait être encore plus important si l’on arrivait à maintenir le nombre de Reynolds constant. Pour les basses valeurs du paramètre de Coriolis (f /N < 0.12), le seuil reste à peu près constant. Ensuite, il diminue pour atteindre une valeur minimale autour de f /N = 0.2. Pour des plus grandes valeurs de ce paramètre, le seuil suit une limite définie par la ligne ω0 = 2f. En dessous de cette ligne (zone hachurée), la TRI n’est pas autorisée, car alors les deux fréquences secondaires ne peuvent à la fois être plus grandes que f et satisfaire la condition de résonance temporelle. Dans la partie précédente, on a pu écrire une expression simplifiée de Σ, le taux de croissance de l’instabilité, qui prend en compte les effets de taille finie. Ce taux de croissance va servir à estimer le seuil d’instabilité qui va par la suite être comparé aux observations expérimentales. Un critère expérimental est nécessaire pour déterminer si la fréquence est ou n’est pas au-dessus du seuil d’instabilité. Pour trouver ce critère, on considère le cas f /N = 0. Grâce à la figure III.9, on estime que le seuil est dans ce cas localisé autour de ω/N = 0.68. Pour ces valeurs de f et ω0, on peut calculer la valeur maximale de Σ(ℓ1) (vis à vis des variations de ℓ1) que l’on appellera par la suite Σ 0 . Dans ce qui suit, on va supposer que pour une onde primaire dans l’espace des paramètres (ω0/N,f /N) toute valeur du taux de croissance Σ plus grande que Σ 0 va conduire à un cas instable, alors que toute valeur en-dessous de ce seuil donne une onde primaire stable. Pour estimer l’évolution du seuil avec f /N on procède comme suit: ➢ On choisit une valeur de f /N ➢ À ω0/N = 0.8 (une région où l’onde est toujours instable expérimentalement pour toute valeur de f, sauf dans zone hachurée), la valeur maximum de Σ(ℓ1), que l’on appellera par la suite Σ max, est calculée. ➢ Si Σ max > Σ 0 , ω0/N est diminué d’un pas choisi (dans notre étude le pas choisi est ∆(ω0/N) = 0.02). ➢ Pour la nouvelle pulsation et pour l’amplitude correspondante, le nouveau Σ max est calculé. ➢ Cette procédure est répétée jusqu’à ce que Σ max < Σ 0 . Le seuil est alors déterminé avec une erreur donnée, correspondant au pas, soit dans notre étude à environ 2% sur ω0/N. Comme discuté précédemment, la largeur exacte W du faisceau n’est pas connue, ce qui introduit une erreur supplémentaire. Pour cette raison, on a indiqué sur la figure III.9, la courbe de seuil dans deux cas, W = 1.5λ et W = 3λ, qui sont deux valeurs limites pour W d’après la figure III.7(b). La bande entre ces deux seuils représente l’erreur marginale dans l’estimation du seuil d’instabilité. On remarque que cette bande se situe dans la région qui sépare les points expérimentaux où la TRI apparaît, des points expérimentaux où la TRI n’apparaît pas. Afin de montrer l’importance de montrer l’importance de l’effet de taille finie, le seuil correspondant à des faisceaux de largeur infinie est tracé.