Apprentissages des élèves

Apprentissages des élèves

Dans ce chapitre, nous présentons les évaluations que nous avons élaborées. La première évaluation est adressée aux étudiants de BAB1 de notre université pour les sections mathématique, informatique et physique. Celle-ci a lieu en début d’année avant tout enseignement d’algèbre linéaire. Les notions de droites et de plans dans l’espace ont donc été vues par les étudiants en sixième secondaire. La deuxième évaluation est adressée aux élèves qui ont suivi notre séquence d’enseignement. Nous analysons ici les réponses fournies aux deux évaluations. Le dépouillement des copies nous permet d’inférer des éléments sur les apprentissages des étudiants et des élèves pour ces notions. Une comparaison entre les résultats des deux évaluations peut nous aider à préciser les effets de nos choix méthodologiques sur les apprentissages.

Éléments méthodologiques

Nous avons ébaloré deux évaluations adressées à des publics différents : les étu- diants en première année universitaire et les élèves ayant suivi notre enseignement. Ce choix s’explique par une volonté de comparer les apprentissages d’un groupe témoin à ceux d’un groupe expérimental. L’analyse des copies des étudiants peut nous aider à mieux apprécier les effets de notre expérimentation sur les apprentissages des élèves.Nous présentons dans un premier temps l’évaluation proposée aux étudiants de BAB1 dans les sections mathématique, informatique et physique. L’échantillon est com- posé de 132 étudiants. Ils ont été interrogés durant le mois d’octobre 2019 avant tout enseignement de géométrie analytique dans l’espace. L’évaluation se trouve dans l’an- nexe K (page 713). Nous choisissons de découper l’analyse de cette évaluation en fonc- tion des questions. Pour chacune d’entre elles, nous expliquons les objectifs visés. Nous proposons également les solutions possibles et réalisons leur analyse a priori. Nous présentons ensuite les résultats des étudiants en illustrant nos propos par des extraits de copies.

Questionnaire pour les étudiants de BAB1

Notre étude de terrain réalisée dans le chapitre VIII a montré que l’aspect « des- cription » de l’interprétation géométrique des objets est fortement travaillé dans l’en- seignement secondaire pour les équations. L’objectif de ces questions est de tester si la reconnaissance des objets à partir d’équations et d’ensembles de points est développée par les sujets interrogés. Nous ne demandons pas de justifier toutes les affirmations mais seulement celles qui demandent quelques adaptations des connaissances.Nous nous basons sur notre étude curriculaire (cf. chapitre IV), notre étude des ma- nuels scolaires (cf. chapitre VII) et notre étude de terrain (cf. chapitre VIII) pour rédiger les solutions possibles de chaque question et pour réaliser leurs analyses a priori. Les équations des droites et des plans dans l’espace sont des connaissances anciennes des étudiants. Les ensembles peuvent ne pas avoir été vus dans l’enseignement secondaire mais ont été travaillés dès le début des cours universitaires.

Il s’agit de reconnaître les objets de l’espace décrits par des équations (paramé- triques et cartésiennes) ou des ensembles de points. Les équations aux points 1 et 2 sont des équations incomplètes de plans. Le système donné au point 3 représente la droite d’intersection des plans d’équations x = 1 et 2x + 3y + 4z = 2. Le système donné au point 4 est composé des équations paramétriques d’une droite. Le système donné au point 5 est lui composé des équations paramétriques d’un plan. Le système donné au point 6 décrit un plan. En effet, les deux équations données représentent deux plans parallèles confondus. Leur intersection est donc le plan lui-même.La première équation décrit un plan dont un vecteur normal est (1; 1; 1). La deuxième équation est un plan dont un vecteur normal est (1; 2; 1). Ces deux vec- teurs ne sont pas colinéaires car quelle que soit la valeur du réel k, on n’aura jamais (1; 1; 1) = k(1; 2; 1). Les deux plans sont donc sécants. L’intersection de ces deux plans est donc une droite.

Au point 3, une reconnaissance des modalités d’application des équations carté- siennes de plans est nécessaire (mise en jeu de connaissances anciennes). Il faut tester si les vecteurs normaux sont colinéaires (mise en jeu de connaissances anciennes en géométrie vectorielle). Une fois qu’il a été déterminé que les deux plans sont sécants, les connaissances de géométrie synthétique permettent de dire que ce système décrit une droite (mise en jeu de connaissances anciennes, changement de cadres). Des adaptations similaires sont à réaliser pour le point 6. Pour ces deux points, un choix de méthode s’im- pose également. En effet, il est possible de résoudre les deux systèmes pour déterminer l’objet décrit par l’ensemble des solutions des systèmes (mise en jeu de connaissances anciennes, conversion de registres).

Pour l’ensemble des vecteurs, des connaissances en cours d’acquisition sont enjeu (notations ensemblistes) ainsi que des connaissances anciennes telles que le produit scalaire entre deux vecteurs. L’organisation du raisonnement se découpe en plusieurs étapes. Il s’agit de traduire l’orthogonalité des vecteurs deux à deux en un produit sca- laire nul (conversion de registres). Un choix de méthode est à effectuer. Il est possible de reconnaître que les deux équations écrites décrivent chacune un plan (mise en jeu de connaissances anciennes). Puisque les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, lesplans sont sécants suivant une droite (mise en jeu de connaissances anciennes, change- ment de cadres). Une autre méthode consiste à résoudre le système composé des deux équations à trois inconnues (mise en jeu de connaissances anciennes). Un ensemble de solutions de ce système est écrit (conversion de registres). La droite est alors reconnue à partir de cet ensemble de solutions (reconnaissance des modalités d’application).