APPORT DE L’AFRIQUE À LA CIVILISATION UNIVERSELLE DANS LE DOMAINE DES SCIENCES EXACTES

Depuis que STRUVE a édité le Papyrus mathématique de Moscou, la communauté scientifique mondiale sait que la mathématique égyptienne, au lieu d’être une simple somme de recettes empiriques, est, au contraire, hautement élaborée et spéculative. En effet, ce papyrus contient deux problèmes, particulièrement difficiles, traitant respectivement de la surface de la sphère (n° 10) et du volume du tronc de pyramide (n° 14). Tous ceux qui se sont occupés un tant soit peu de mathématiques savent combien le traitement des surfaces courbes est délicat. Or, la « formule » trouvée par le scribe, 1700 avant ARCHIMÈDE, est rigoureusement exacte : S = 2πR2 pour la surface de la demi-sphère. Dans ce problème il s’agit, en effet, de calculer la surface d’une demi-sphère qu’il suffit de multiplier par deux pour avoir celle de la sphère. La sphère et le cylindre exinscrit, de hauteur égale au diamètre de la sphère, sont deux corps inséparables d’un point de vue théorique. Leurs deux surfaces sont identiques et égales à 4πR2.
Ce fait n’a pas dû échapper à la sagacité des Égyptiens. Qui peut le plus peut le moins. Aussi est-ce cet ensemble de figures qu’ARCHIMÈDE considéra comme sa plus importante et plus belle découverte, et qu’il avait choisi comme épitaphe ; et c’est bien ce signe qui a authentifié la découverte du tombeau d’ARCHIMÈDE, à Syracuse, en Sicile, par CICÉRON. Or, ARCHIMÈDE ne pouvait ignorer l’antériorité de la découverte égyptienne du même théorème qu’il a très probablement utilisé, aménagé et présenté à sa manière8. Ses autres 8 V. V. STRUVE, Mathematischer papyrus des staatlichen Museums der Schönen Künste m Moskau (Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik ; Abteilung A. Quellen, Band I) Berlin, 1930. La remarque de CLÉMENT D’ALEXANDRIE, dans Stromata, donne une idée de l’importance de cet emprunt de la Grèce à l’Égypte pharaonique : « Un livre de mille pages ne suffirait pas pour citer les noms de mes compatriotes qui ont usé et abusé des connaissances égyptiennes. »
En effet, le « miracle grec », pour être probant, aurait dû être antérieur aux contacts agissements à l’égard de la science égyptienne le prouvent. Pour ne parler que des certitudes : les Égyptiens transmettent à la postérité la formule exacte de la surface de la sphère et la « formule » exacte du volume du cylindre, calculé avec une valeur de π = 3,169. ARCHIMÈDE ignore totalement ces résultats dans son traité intitulé De la sphère du cylindre, écrit environ deux mille ans après les papyrii mathématiques égyptiens.
Le problème n° 50 Papyrus RHIND nous donne la surface exacte du cercle de diamètre 9 avec une valeur de π = 3,16 suivant la formule : S = ( 8 d)2 9 équivalent à S = π d 2 ou πR2.
ARCHIMÈDE garde le silence sur cette « formule » dans son traité intitulé De la mesure du cercle.
II en est de même, en particulier, en ce qui concerne le calcul de la valeur de π, dont il donne les bornes inférieure et supérieure. Enfin, dans son traité intitulé De l’équilibre des plans ou de leur centre de gravité, ARCHIMÈDE ne montre nulle part que les Égyptiens avaient déjà maîtrisé la théorie du levier de tous les genres ainsi que celle du plan incliné, avant lui. La balance à curseurs annulaires permettant de fignoler les pesées et publiée par G. DAVIES10 ne laisse aucun doute à ce sujet, sans parler du chadouf11, qui est l’application courante du levier à bras inégaux dont l’utilisation faisait dire à ARCHIMÈDE qu’il soulèverait la terre s’il avait un point d’appui. Or quelle est la méthode de recherche d’ARCHIMÈDE qui est considéré comme le représentant le plus génial de la mathématique et de l’intellectualisme grecs ? Lui-même nous la décrit dans une lettre adressée à son ami le géomètre avec l’Égypte. Mais il n’en est rien. La Grèce ne s’ouvrira difficilement à la science et à la philosophie qu’une fois initiée par l’Égypte. II n’existe pas de science et de philosophie grecques antérieures au contact avec l’Égypte, au VIe siècle avant Jésus-Christ, date des premiers voyages de THALÈS et des pré-socratiques en général. ERATOSTHÈNE, et n’hésite pas à dire qu’il procède d’abord par pesée des figures géométriques et, quand elles sont égales seulement, il cherche ensuite à démontrer leur égalité par des moyens mathématiques. II recommande même sa méthode à son ami 12. Mais Paul Ver EECKE soupçonne ARCHIMÈDE de malhonnêteté, et suppose que celui-ci a voulu cacher ses vraies sources d’inspiration et « effacer soigneusement la trace de ses pas derrière lui ». Cette source cachée pouvait-elle être autre qu’égyptienne ? Assurément non. En effet ARCHIMÈDE, comme tous les savants grecs, est allé s’initier ou se perfectionner en Égypte et c’est au retour d’un de ces voyages qu’il « inventa » la vis sans fin que des siècles avant sa naissance les Égyptiens utilisaient déjà pour l’exhaure de l’eau13.
Aussi on oublie la méthode du plus grand représentant de la mathématique grecque lorsqu’on parle gratuitement d’empirisme et de recettes scientifiques égyptiennes. STRUVE , en étudiant la méthode probable suivie par le scribe pour trouver la surface de la sphère, montre que celui-ci a nécessairement associé la sphère au cylindre exinscrit de même surface, de hauteur égale au diamètre du grand cercle de la sphère (comme l’a fait ARCHIMÈDE plus tard) pour dégager une méthode générale empirico-théorique d’étude des surfaces courbes et des volumes, et établir les rapports en surface et en volume de ces deux corps. De la sorte, ajoute-t-il, le problème n° 10 (du Papyrus de Moscou ) nous a apporté à la fois la formule de la surface de la sphère et celle de la longueur de la circonférence14.
Pour comprendre l’importance de cette dernière remarque, il importe de se rappeler que c’est à DINOSTRATUS que l’on attribue la formule C = π.d, et qui donne la longueur de la circonférence, formule qui, dans le cas présent aurait été établie par les Égyptiens 1400 ans avant son présumé inventeur grec. II rappelle, en citant les travaux de L. CRON, qu’en mécanique aussi les Égyptiens avaient plus de connaissances qu’on ne veut le croire. Leurs plans sont aussi exacts que ceux des ingénieurs modernes15.
II est donc normal, conclut-il, que les Grecs aient explicitement avoué que les Égyptiens étaient leurs maîtres en géométrie, et que celle-ci est venue d’Égypte en Grèce, et non de la Babylonie. À ce dernier point de vue, STRUVE insiste sur l’exactitude de la géométrie égyptienne. En effet, une géométrie empirique utilisant des recettes comme la géométrie babylonienne, par exemple, ne saurait aboutir à des formules exactes comme celles de la géométrie égyptienne. Cela nous amène au deuxième problème n° 14 du Papyrus de Moscou, qui traite du volume d’un tronc de pyramide. Le scribe donne la formule suivante : V = h ( a 2 + ab + b 2 ) 3 avec :
a = côté du carré de base,
b = côté du carré au sommet,
h = hauteur séparant les plans des deux carrés.
Même PEET, qui fut un grand détracteur de la mathématique égyptienne, reconnaît que depuis 4 000 ans la recherche mathématique n’a pas fait mieux quant à l’amélioration de cette formule. En effet, celle-ci est rigoureusement exacte.
Pour la même figure, la géométrie mésopotamienne donne : V = h ( a 2 + b 2 ) 2 formule qui n’est même pas approchée, mais fausse. II en est de même du volume du tronc de cône : V = π h (S + S’ ) 2 S et S’ étant les surfaces des cercles de base et du sommet. La même géométrie mésopotamienne calcule le volume d’un cylindre avec une valeur de π = 3 en l’assimilant à un prisme, alors que, on l’a vu ci-dessus, la formule correspondante de la géométrie égyptienne est rigoureusement exacte. En fait, dans toute la mathématique égyptienne il n’existe pas une seule formule erronée : ni en géométrie, ni en algèbre, ni en trigonométrie, ni en arithmétique, ni en mécanique. II ne peut donc s’agir que d’une science hautement théorique.
Si la mathématique égyptienne était empirique, on serait amené à reconnaître que l’empirisme surclasse la théorie car depuis des siècles les mathématiciens se perdent, en vain, en conjectures pour retrouver les prétendues recettes empiriques qui auraient conduit à la rigueur de la mathématique égyptienne ; l’empirisme vulgaire serait donc moins accessible que la théorie. Le résultat ci -dessus n’empêchera pas ARCHIMÈDE d’écrire que c’est à EUDOXE de CNIDE que l’on doit l’étude de la pyramide16.

Théorème dit de PYTHAGORE

Les éléments de la mathématique égyptienne permettent d’affirmer que PYTHAGORE n’a pas démontré le théorème qu’on lui attribue et beaucoup de mathématiciens un tant soit peu familiarisés avec les données égyptiennes savent cela. En effet, en se référant à PLUTARQUE (Isis et Osiris) et à PLATON (Politique), on sait déjà que, parmi tous les triangles rectangles, celui qui a comme côtés respectifs 3, 4, 5 est sacré (problème n° 6 du Papyrus de Moscou)17.
Donc, on reconnaît volontiers que les Égyptiens connaissaient sûrement des cas particuliers du théorème dit de PYTHAGORE. Mais on n’admet pas qu’ils l’aient démontré dans le cas général. Or, on sait que ce théorème a très probablement été découvert en même temps que les nombres irrationnels, dans le cas général, sans valeurs numériques particulières, dans le cas d’une duplication du carré à partir de la diagonale. II existe à cet effet une unité de longueur égyptienne dont la définition précise ne laisse aucun doute sur la connaissance du théorème de l’hypoténuse et sur l’existence des nombres irrationnels : il s’agit du « double-remen ». Le double-remen est la longueur de la diagonale d’un carré de côté a = une coudée (royale). Si d est cette diagonale, on a : d = a 2 = ( 2 x 20,6) = 29,1325 inches18. On sait que 2 est le nombre irrationnel par excellence mais les Égyptiens savaient extraire même les racines carrées des nombres fractionnaires. Les Égyptiens utilisaient effectivement cette longueur pour tracer des carrés de surface double du carré initial de côté = a, ou pour diviser en deux un carré double initial. On ne peut pas trouver une application plus évidente du théorème du carré de l’hypoténuse dans le cas le plus général sans valeur mécanique, et ce au moins deux mille ans avant la naissance de PYTHAGORE. II apparaît aussi que les Égyptiens connaissaient bien les nombres irrationnels. Cette façon de voir est singulièrement confirmée par la définition également géométrique et non arithmétique que les Égyptiens donnent de la racine carrée : l’expression consacrée, dans les textes, est « faire l’angle (droit) d’un nombre ».