Indiscernabilité des particules identiques en Mécanique Quantique

On a déjà rencontré un concept spécifiquement quantique, le spin, dont il est impossible de donner une image classique en termes de rotation d’une particule sur elle-meme. Le spin s’évanouit à la limite classique : s’il est possible de concevoir des moments cinétiques orbitaux arbitrairement élevés, on ne connaît pas de moment de spin aussi grand que l’on veut. Un autre concept1 s’évanouissant à la limite classique est l’indiscernabilité des particules identiques en Mécanique Quantique, provenant de la disparition de la notion de trajectoire : dans un cadre quantique, on ne peut plus, après avoir numéroté les particules dans l’état de départ, les suivre à la trace pour les identifier dans l’état final. Il en r´ esulte notamment qu’une question comme “quelle est la probabilité de trouver l’électron 1 en r1 et l’électron 2 en r2 ?” n’a pas de sens. ` A l’inverse, la question “quelle est la probabilité de trouver un electron en r1 et un en r2” est sensée. L’impossibilité de distinguer plusieurs particules identiques cohabitant au sein d’un meme système – c’est-a-dire finalement l’invariance des propriétés physiques dans tout échange des variables dynamiques des particules – se traduira par une symétrie de permutation de la fonction d’onde. Cette invariance sera énoncée sous la forme d’un nouveau postulat, aux conséquences extraordinaires : il est l’un des fondements de l’explication de la stabilité de la matière constituée et de ses propriétés.
Deux particules sont dites identiques si toutes leurs grandeurs intrinsèques (masse, charge, spin, etc.) sont les memes. Un proton et un électron ont meme spin mais sont distincts par leurs masses. Un électron et un positron ont meme masse et meme spin mais ont des charges opposées. Aucune expérience ne permet de distinguer deux particules identiques – sauf si l’on sait qu’elles sont par exemple dans deux régions distinctes

Le postulat de symétrisation

La difficulté stigmatisée dans la section précédente est eliminée par l’adoption du postulat suivant :Pour un système contenant N particules identiques, les seuls états physiques sont soit symétriques (pairs) soit antisymétriques (impairs) dans l’échange de deux quelconques de ces particules. Autrement dit, soit Ψ(1,2,…,N) la fonction d’onde d’un tel système o` u i dénote l’ensemble des degr´ es de liberté (spinet coordonnées d’espace au sens large) ; notons que i n’est pas le numéro d’une particule, mais le numéro d’un point de l’espace-spin d’une particule. Le postulat ci-dessus affirme que les seuls états possibles, suivant la nature des particules composant le système, sont :
1. les états symétriques tels que : Ψ(…,i,…,j,…) = +Ψ(…,j,…,i,… ) , (2.5) que l’ont note génériquement ΨS et appartiennent à un sous-espace ES de l’espace des états E. 2. les états antisymétriques tels que : Ψ(…,i,…,j,…)=−Ψ(…,j,…,i,… ) , (2.6) que l’ont note génériquement ΨA et appartiennent à un sous-espace EA de l’espace des états E. On appelle bosons les particules pour lesquelles la fonction d’onde doit ˆetre symétrique, fermions celles pour lesquelles la fonction d’onde doit etre antisymétrique. Toutes les particules connues actuellement vérifient en outre la règle empirique suivante :
• les particules de spin entier sont des bosons, et sont donc décrits par des états symétriques satisfaisant (2.5) • les particules de spin demi-entier sont des fermions, et sont donc décrits par des états antisymétriques satisfaisant (2.6).
Selon ce que l’on sait actuellement, la matière est faite de fermions, tandis que les bosons se chargent de médier les interactions. Dès que ce postulat est admis pour les particules considérées comme élémentaires, il s’applique egalement aux particules composites. En effet, échanger deux telles particules complexes revient à échanger simultanément toutes les particules composant la première avec toutes les particules composant la deuxième. L’état est inchangé si les constituants élémentaires sont des bosons (aucun changement de signe) ou s’il s’agit de fermions en nombre pair, un nombre pair de fermions donnant un spin entier donc un spin de boson. A l’inverse, des particules complexes formées d’un nombre impair de fermions sont des fermions (spin total demi-entier) et l’échange de deux telles particules par l’échange13 de leurs constituants élémentaires donnera globalement un signe −.

Permutations. Opérateurs de symétrisation et d’antisymétrisation

Soit SN ≡{ Pλ} l’ensemble des permutations de N objets. Une permutation peut se noter : 12… N i1 i2 … in , (2.25) la deuxieme ligne donnantle résultat de la permutation des N premiers entiers écrits dans l’ordre naturel dans la premiere ligne. Cet ensemble est visiblement un groupe ; le produit de deux permutations est une permutation, que l’on détermine comme suit : 12… N i1 i2 … in 12… N j1 j2 … jn = j1 j2 … jN k1 k2 … kn 12… N j1 j2 … jn . (2.26) Le produit au second membre n’est autre que : 12… N k1 k2 … kn . (2.27)
L’élément neutre est la permutation identit´ e 12… N 12… N ; manifestement, tout élément a un inverse.Il y a N!´ eléments dans SN, qui est appelé groupe symétrique. Les Pλ agissent sur les fonctions d’onde comme suit ; si : Pλ = 12… N i1 i2 … iN , (2.28) alors : PλΨ(1,2,…,N) = Ψ( i1,i2,…,iN) , (2.29)
Les Pλ sont visiblement des opérateurs unitaires ; en effet, un produit scalaire tel que :
(PλΨ,P λΦ) (2.3 est une intégration sur les variables d’espace continues et une sommation sur les variables de spin discretes ; toutes ces sommations portent sur des variables muettes et le résultat ne dépend en aucune facon de toute permutation effectuée sur l’ensemble de ces variables. Il vient donc : (PλΨ,P λΦ) = (Ψ, Φ) (2.31) qui est la relation caractéristique d’un opérateur unitaire. Toute permutation étant unitaire, son adjoint est son inverse : P† λ = P−1 λ