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Les systèmes LPV/q-LPV
Cette section s’intéresse tout particulièrement à la représentation des systèmes physiques par des modèles de type LPV et q-LPV. Ce type de modélisation d’un système physique a notamment pour avantage de décrire un plus grand nombre de systèmes que les modèles de type LTI.
Afin de pouvoir décrire les modélisations LPV et q-LPV, détaillons tout d’abord les formalismes LTI et LTV.
Les modèles LTI : Le formalisme LTI introduit des modèles linéaires et invariants. On dit qu’ils sont linéaires car l’équation différentielle qui décrit la dynamique et son équation de mesure est linéaire. On dit qu’ils sont invariants car les dynamiques restent inchangées en fonction du temps ou autrement dit l’équation différentielle qui décrit la dynamique et son équation de mesure est à coefficients constants.
Les modèles LTV : Les modèles LTV sont linéaires variables avec le temps. Cette famille de modèles permet de décrire un plus large spectre de systèmes physiques que les systèmes LPV. Les systèmes LTV sont linéaires (l’équation différentielle qui décrit la dynamique et son équation de mesure est linéaire), mais les coefficients peuvent être dépendants du temps. On dit alors que le système d’équations différentielles est non-indépendant.
Les modèles LPV : Les modèles LPV sont linéaires à paramètres variables. Il s’agit de systèmes d’équations différentielles dont les paramètres varient mais pas explicitement par rapport au temps (le système reste alors indépendant).
La représentation sous forme de fonction de transfert n’a plus de sens, mais par abus de langage on parle malgré tout de fonction de transfert pour des valeurs fixes des paramètres variables. Les modèles q-LPV : Les modèles quasi-LPV (q-LPV) sont linéaires à paramètres variables, avec la particularité qu’au moins un des états intervient dans au moins un des paramètres variables. Il s’agit de systèmes d’équations différentielles dont les paramètres varient mais pas explicitement par rapport au temps (le système reste alors indépendant).
La représentation sous forme de fonction de transfert n’a plus de sens, mais par abus de langage on parle de fonction de transfert pour des valeurs fixes des paramètres variables.
Ce type de modèle permet de décrire une large plage de systèmes physiques ou virtuels puisqu’il s’avère ainsi possible de déplacer les non-linéarités du système dans les paramètres variables du modèle.
Synthèse par placement de pôles
Cette section présente le principe de la méthode de placement de pôles pour la synthèse de correcteurs LPV pour des systèmes LPV. La méthode ci-dessous consiste à établir des contraintes sur la position des pôles de la boucle fermée dans des régions convexes.
Il s’agit de résoudre le problème de faisabilité LMI issu des contraintes qui définissent l’intersection d’espaces convexes : chaque contrainte impose l’appartenance des pôles de la boucle fermée à un certain domaine convexe, et la juxtaposition de ces contraintes définit l’intersection de ces domaines convexes qui est lui aussi nécessairement convexe.
Les contraintes les plus couramment utilisées dans la pratique sont : L’éloignement des pôles de la boucle fermée à l’axe imaginaire. Ceci est équivalent à l’appartenance au demi-plan défini par la distance λ.
L’amortissement minimum des pôles de la boucle fermée. Ceci est équivalent à l’appartenance à un cône de demi-angle α.
Une certaine restriction des hautes fréquences, qui est équivalente à l’appartenance à un disque de rayon r centré sur l’intersection de l’axe réel et l’axe imaginaire.
Ces contraintes permettent d’assurer la stabilité de la boucle fermée et aussi un certain comportement de la boucle fermée en transitoire : temps de réponse et amortissement.
Les classes de problèmes d’optimisation
Différentes classifications des problèmes d’optimisation existent, en fonction du critère considéré. Les principaux critères utilisés sont : le type de fonction de coût, les contraintes, les variables à optimiser. Classification en fonction de la fonction de coût : Il s’agit de la classification la plus courante dans la littérature. En effet cette classification est naturelle, les méthodes de résolution pouvant être plus ou moins efficaces au regard du critère utilisé.
Suivant la fonction de coût, les problèmes d’optimisation peuvent être classés selon différentes approches de complexité variable : monovariable (optimisation unidimensionnelle), linéaire, quadratique, LMI, convexe, non linéaire dérivable, non linéaire et non dérivable, non analytique. Classification en fonction des contraintes : Dans un problème d’optimisation, les contraintes permettent de définir les limitations dans l’espace de recherche. Les combinaisons de variables de décision vérifiant les contraintes sont qualifiées de solutions faisables (mais pas nécessairement optimales) du problème d’optimisation. Il s’agit d’une classification assez courante dans la littérature car la présence (ou non) de différents types de contraintes implique des méthodes de résolution différentes.
Classification en fonction du type de minima : La fonction de coût considérée dans la réalisation concrète d’un problème d’optimisation peut avoir un ou plusieurs minima. En fonction des contraintes, un problème d’optimisation peut aussi ne pas avoir de solution. En général on parle de
fonctions monomodales lorsqu’il existe un seul minimum et de fonctions multimodales lorsque plusieurs minima apparaissent.
Dans ce deuxième cas, on peut introduire les notions de minimum local et global. Un minimum local est le minimum de la fonction de coût dans un espace de recherche restreint au voisinage de l’optimum local et qui vérifie les contraintes. Le minimum global est unique (s’il existe) et est défini comme le minimum de tous les minima locaux.
Optimisation métaheuristique
Les méthodes d’optimisation métaheuristiques, du grec meta «au-delà» et heuriskein «trouver», visent à résoudre des problèmes d’optimisation pour lesquels on ne connaît pas de méthode classique plus efficace.
Les méthodes d’optimisation métaheuristiques se basent généralement sur des algorithmes stochastiques itératifs qui évoluent vers un optimum global en échantillonnant la fonction de coût. Ils utilisent un haut niveau d’abstraction, ce qui leur permet de s’adapter à une large gamme de problèmes. Les algorithmes métaheuristiques utilisent souvent un échantillonnage probabiliste dans le but d’essayer d’éviter les pièges induits par les minima locaux.
Ces algorithmes s’inspirent souvent de la nature : recuit simulé (basé sur le refroidissement lent d’un corps afin que ses atomes atteignent l’état d’énergie minimale), algorithmes génétiques (basés sur l’évolution des espèces et la sélection naturelle), essaims particulaires (basés sur le mouvement de bancs de poissons), colonies de fourmis…. En général, ils partagent tous trois phases pour chaque itération : diversification ou exploration ; elle permet de recueillir de l’information sur le problème d’optimisation (fonction de coût et contraintes), intensification ou exploitation ; elle permet de définir des zones ou directions intéressantes de l’espace de recherche à explorer lors d’itérations futures, apprentissage et mémoire ; elle permet d’enrichir l’algorithme avec des éléments en vue d’éviter les minima locaux.
Les algorithmes métaheuristiques sont généralement initialisés aléatoirement et comme tout algorithme itératif ils utilisent des critères d’arrêt classiques.
Architecture de commande proposée
L’architecture de commande proposée a pour but de s’affranchir de certains des inconvénients de la structure de commande classique : La chaîne de mesure du véhicule est beaucoup plus précise que les sens du conducteur humain.
La génération des consignes de vitesse de lacet et longitudinale prend en compte la dynamique du véhicule ainsi que d’autres facteurs tels que le caractère sportif ou écologique du conducteur. De plus, le correcteur de pilotage proposé possède des signaux de commande supplémentaires par rapport au conducteur humain : il peut par exemple freiner indépendamment chaque roue (alors que l’on imagine mal une pédale de frein pour chaque roue).
La structure de commande proposée se compose de trois boucles : Une première boucle, la plus externe qui est fermée par le conducteur. Une deuxième boucle intermédiaire, le guidage, qui a pour but d’interpréter la volonté du conducteur et de générer les consignes de vitesse longitudinale et de lacet. Une troisième boucle, la plus interne appelée pilotage, qui s’assure que dans la mesure du possible (de la physique et des actionneurs disponibles) les consignes demandées par le guidage seront réalisées.
Table des matières
CHAPITRE I : INTRODUCTION
CHAPITRE II : OUTILS POUR LA COMMANDE : SYSTEMES LPV/Q-LPV ET OPTIMISATION METAHEURISTIQUE
1. Les systèmes LPV/q-LPV
a. Les modèles LTI
b. Les modèles LTV
c. Les modèles LPV
d. Les modèles q-LPV
2. Modélisation des systèmes LPV et q-LPV
a. Représentation affine des systèmes LPV/q-LPV
b. Représentation polytopique des systèmes LPV/q-LPV
i. Rappels de topologie
ii. Représentation
c. Représentation LFT
d. « Règles » de mise en forme
3. Synthèse de correcteurs LPV/q-LPV
a. Synthèse LPV H∞
i. Rappels théoriques
ii. Synthèse du correcteur
b. Synthèse par placement de pôles
4. L’optimisation
a. Définition du problème
b. Les classes de problèmes d’optimisation
i. Classification en fonction de la fonction de coût
ii. Classification en fonction des contraintes
iii. Classification en fonction du type de minimas
c. L’optimisation convexe
5. Optimisation LMI
a. Inégalités matricielles linéaires (LMI)
b. Principes de résolution d’un problème LMI
6. Optimisation métaheuristique
a. Principe
b. Les classes de méthodes
c. Les essaims particulaires
i. L’algorithme PSO Standard
ii. GCPSO
iii. Optimisation multicritère
CHAPITRE III : CONTROLE DE LA TRAJECTOIRE D’UN VEHICULE AUTOMOBILE
1. Architectures de commande
a. Architecture existante
b. Architecture de commande proposée
i. Observateurs
ii. Guidage
iii. Pilotage
2. Modélisation
a. Modèle dynamique du véhicule
b. Mise sous forme q-LPV
c. Modélisation des actionneurs
d. Le différentiel
3. Synthèse de correcteurs
a. H∞ quasi-LPV
b. Retour linéarisant
i. Boucle externe H∞
ii. Boucle externe double PI optimisé
4. Génération des signaux de consigne
a. Consigne de vitesse longitudinale
b. Consigne de vitesse de lacet
5. Génération des signaux de commande
a. Changement de variables inverse
b. Prise en compte du différentiel
6. Résultats de simulation
a. Le modèle de validation
b. Scénarios de validation
i. Scénario 1 : vitesse longitudinale
ii. Scénario 2 : vitesse de lacet
iii. Scénario 3 : le rond-point
c. Implications sur la stabilité du véhicule en virage
d. Conclusions
CHAPITRE IV : Contrôle d’un moteur à combustion interne
1. Le moteur à combustion interne
a. Classification des moteurs
b. Moteur à allumage commandé
c. Principe du downsizing
2. Modélisation
a. Modèle physique non-linéaire
i. Equations de la dynamique
ii. Calcul des débits et des températures
b. Modèle q-LPV utilisé pour la synthèse
3. Synthèse des correcteurs
a. Schémas de synthèse
b. Evaluation fréquentielle
4. Validation des correcteurs
a. Suivi des consignes
b. Rejet de perturbations
CHAPITRE V : Récupération d’énergie au freinage
1. Révolution de la demande : le phénomène écologique
a. La demande
b. L’offre
c. Problématique de l’autonomie
2. Solutions pour la problématique de l’autonomie
a. Améliorer les batteries
b. Réduire les pertes
i. Quantification des pertes
ii. Focus sur Mγ
3. Récupération d’énergie : le freinage découplé
a. Description du système de freinage : composants physiques
b. Stratégie de commande et problème des à-coups
i. La répartition avant/arrière
ii. Le torque blending
iii. Le stability index
4. Système anti à-coups
a. Identification de la chaîne de transmission
b. Justification de la forme du régulateur : synthèse H∞
c. Structure de la loi de commande
d. Optimisation de la loi de commande
i. Analyse des marges de stabilité
ii. Analyse de robustesse
e. Outil d’aide à la mise au point
f. Résultats expérimentaux
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
