APPLICATION DE LA DERIVATION NON‐ENTIERE ET DE L’APPROCHE NON‐PARETO A LA SEGMENTATION 

APPLICATION DE LA DERIVATION NON‐ENTIERE ET DE L’APPROCHE NON‐PARETO A LA SEGMENTATION 

Dans  ce  chapitre,  nous  présentons  une  méthode  de  segmentation  basée  sur  une  approche  multiobjectifnon‐Pareto (Nakib, et al., 2006b; Nakib, et al., 2007h; Nakib, et al., 2007g; Nakib, et al.,  2007f).  Le  principe  d’un  système  de  segmentation  d’images  par  approche  non‐Pareto  consiste  à  segmenter  l’image  avec  plusieurs  critères,  les  uns  indépendamment  des  autres.  Ce  système  de  segmentation produit un ensemble de solutions optimales selon chaque critère, dont le cardinal est  égal au nombre de critères utilisés (figure 5.1).

La première section est dédiée au formalisme de la DNE à une dimension (1D), et à son extension aux  espaces  à  deux  dimensions  (2D).  Dans  la  deuxième  section,  nous  présentons  les  propriétés  d’un  histogramme  et  d’une  image  dérivés  avec  un  ordre  non‐entier.  Les  deux  variantes de  l’algorithme,  basées sur la DNE‐1D et DNE‐2D, sont détaillées dans la troisième section. L’analyse de l’algorithme,  sa comparaison avec d’autres méthodes,  ainsi que des exemples de segmentations font l’objet de la  quatrième section. Le chapitre se termine par une conclusion. critères utilisés, nous introduisons en amont un bloc de dérivation non entière. Il nous faut aussi un  bloc  de  sélection  de  la  meilleure  solution  parmi  les  p  solutions  proposées,  où  p  est  le  nombre  de  critères.  Pour  résoudre  ce  problème  et  rendre  l’algorithme  non‐supervisé,  nous  avons  introduit  en  aval  un  algorithme  de  sélection,  permettant  d’élire  la  meilleure  solution,  au sens  de  la  régularité géométrique des images segmentées. Le schéma de l’algorithme complet de segmentation  par l’approche non‐Pareto est présenté .

FORMALISME  DE  LA  DERIVATION  NON‐ ENTIERE (DNE)  

La  théorie  de  la  dérivation  non‐entière  (dérivée  fractionnaire)  date  des  travaux  de  Leibniz  et L’Hospital en 1965. La dérivation d’ordre non‐entier généralise la notion de dérivée d’ordre entier α  d’une fonction f(x) par rapport à la variable x à des valeurs non‐entières de α. Lorsque α est négatif,des différentes approches pour définir la DNE figure dans (Oldham, et al., 1974). Au départ, la théorie  des  dérivées  fractionnaires  a  été  considérée  comme  une  branche  relevant  des  mathématiques.  Récemment, la DNE a été appliquée dans différents domaines : en automatique, où elle est utilisée pour le calcul d’une commande robuste (Oustaloup, 1996), dans la résolution de problèmes inverses  mal  posés  de  transfert  thermique  (Battaglia,  2001),  et  dans  de  nombreux  autres  domaines,  notamment en réseaux de neurones (Ramus, et al., 2002), en traitement d’images pour la détection  de contours (Mathieu, et al., 2003) et en traitement de signal (Ferdi, et al., 2000; Nakib, et al., 2002).

PROPRIETES DE L’HISTOGRAMME ET DE L’IMAGE DIFFERENCIEE

Lorsqu’un histogramme est différencié avec un ordre α positif, son amplitude est comprimée. Nous  avons  remarqué qu’avec l’augmentation de  l’ordre de  0  vers1, l’intervalle  de  variations  diminue  considérablement.  En  revanche,  dans  le  cas  où  la  valeur  de  α  s’étend  de  0  à  ‐1,  l’intervalle  de diminue  quand  les  valeurs  de  α  sont  positives.  Par  contre,  elle  augmente  lorsque  les  valeurs  de  α  sont négatives. La même remarque a été constatée lorsque la DNE‐2D a été appliquée. Dans  cette  approche,  nous  appliquons  la  DNE‐1D  sur  l’histogramme  de  l’image, avec  différents  ordres de dérivation. Nous partons de l’hypothèse  que les différentes classes de niveaux  de gris se  traduisent  par  des  pics  dans  l’histogramme.  A  partir  de  là,  chaque  intervalle  entre  deux  pics  de  l’histogramme est différencié par un ordre (optimal) qui permet de séparer deux classes successives.Les différentes étapes de l’algorithme sont présentées dans l’Algorithme 5.1.

Dans la procédure de segmentation globale (Figure 5.2), l’Algorithme 5.1 est exécuté plusieurs fois,  et  à  chaque  fois  avec  un  ordre α  différent.  L’objectif  est  de  trouver  l’ordre  α  optimal,  et  par  là  la  binarisation  optimale  recherchée.  Il  est  à  préciser  que  chacun  des  ordres  ne  produira  pas, certainement, un seuil de segmentation différent. L’ensemble des seuils de segmentation ainsi créés  est  ensuite  traité  et  réduit  par  les  étages  suivants  de  l’algorithme  global.  L’étage  final  de  sélection  fournira alors le seuil de segmentation optimal recherché en correspondance avec l’ordre optimal de  α.

Afin de trouver l’ordre optimal de la DNE et par la suite la segmentation optimale de l’image, nous  faisons  appel  à  l’optimisation  multiobjectif  par  l’approche  non‐Pareto.  En  nous  appuyant  sur  le  schéma  de  la  figure  5.2,  nous  avons  utilisé  trois  critères :  l’entropie  de  Shannon,  la  variance interclasse biaisée et la régularité géométrique des images segmentées (figure 5.6).  Dans la première étape, nous évaluons la régularité des différentes lignes de l’image. Le nombre de  lignes dépend de la largeur des objets dans l’image en niveaux  de gris, et définit le pas entre deux  lignes  successives.  Généralement,  ce  nombre  est  compris  entre  2  et  5.  L’illustration  de  cette étape  est présentée sur la figure 5.7. Les variations de chaque ligne sont calculées en utilisant l’expression  (5.12). Les figures 5. 7 (c) et (e) illustrent la forme de deux lignes de l’image binarisée, dans deux cas  de segmentation.