Analyse non-linéaire matérielle et géométrique des structures coques en béton armé

L’analyse d’une structure par éléments finis nécessite les trois étapes suivantes : le choix d’une échelle de description à laquelle doit se placer le modélisateur pour que son calcul soit réaliste et efficace, la modélisation des différents matériaux constituant la structure, et enfin, la mise en oeuvre numérique dans un code de calcul par éléments finis. Au stade de la première étape, ce sont la nature ainsi que la précision des résultats recherchés qui fixent le choix de l’échelle de modélisation. Nous distinguons : les échelles globale, semi-globale, et locale.

Dans notre étude, notre choix s’est porté sur l’approche de discrétisation semi globale, celle-ci se trouvant être appropriée au calcul non-linéaire matériel et géométrique de structures constituées de coques sous divers chargements. C’est pourquoi, nous nous proposons dans ce premier chapitre, de développer un outil numérique issu de cette approche : l’élément de coque multicouche. Cet élément est formé d’un empilement de plusieurs coques monocouches excentrées. L’idée de base consiste alors à établir les équations pour une coque excentrée, puis d’en déduire celle d’un élément de coque multicouche par superposition, moyennant certaines hypothèses.

On peut distinguer trois échelles de discrétisation par éléments finis des structures coques : une échelle globale, une échelle locale et une échelle semi-globale . Ce sont la nature et la précision des résultats recherchés qui fixent le choix d’une échelle.

Echelle globale
Cette approche consiste à modéliser le comportement de la structure coque considérée à partir de variables généralisées d’efforts et de déformations dans une section. On construit alors le fonctionnement de cette section, pour l’intégrer ensuite sur toute la structure. Plusieurs voies sont possibles, nous distinguons :

L’approche par construction d’une courbe limite d’interaction :
Dans cette approche, on détermine le domaine de résistance d’une section soumise à un effort normal et un moment fléchissant. Pour cela, on construit la formulation à partir des lois uniaxiales des différents matériaux constituants la coque et on recherche l’extremum d’un couple effort normal-moment fléchissant pour une excentricité donnée. L’ensemble des extrema constitue la courbe ultime de la section, appelée « courbe limite d’interaction » qu’on considère comme un critère de plasticité fonction de l’effort normal et du moment fléchissant. L’évolution des variables plastiques de la section : elongations et courbures plastiques, est décrite par une règle d’écoulement (Cariou, 1988),

L’approche par macro-élément :
Cette approche a surtout été développée dans le cas des poutres (Elachachi et Breysse, 1991). Il s’agit d’étudier la réponse d’un élément de structure appelé « macro-élément » dont la taille est de l’ordre de grandeur des dimensions transverses. Cette étude consiste à tester le macroélément dans toutes les situations. Les réponses de celui-ci doivent pouvoir être calculées indépendamment de la structure à laquelle il est relié. On paramètre ces réponses pour obtenir des expressions analytiques, puis on procède au calcul global de la structure par l’assemblage de macro-éléments.

Ces approches par discrétisation globale conduisent en général à des temps de calculs réduits mais présentent cependant certains inconvénients :

– Elles sont surtout adaptées aux structures de type poutres. Leur généralisation aux coques est complexe. En effet, l’extension au cas des efforts et moments multiples dans les coques reste très délicate, notamment en ce qui concerne l’interaction entre ces forces qui est difficile à établir sous forme d’une courbe limite d’interaction.
– De plus, pour une coque composite, le comportement non-linéaire en matériaux est difficile à modéliser par l’utilisation d’une approche en discrétisation globale, car toutes les informations géométriques et matérielles sont ramenées à la surface moyenne de celle-ci. Cette approche ne permet donc pas de définir précisément les comportements locaux des différents matériaux constituant la coque puisqu’elle intègre globalement les phénomènes.

Pour la prise en compte des non-linéarités géométriques, l’approche globale permet d’établir des procédures numériques efficaces du fait de la représentation géométrique simple.

A cette échelle de discrétisation, de type mécanique des milieux continus, on modélise le béton par des éléments de massifs et F acier par des éléments de barres ou massifs. L’analyse est alors lourde et la prise en compte des non-linéarités matérielles et géométriques nécessite non seulement des temps de calculs importants mais aussi le stockage d’un grand nombre de résultats partiels. Cette approche a toutefois l’avantage d’être proche de la réalité physique et permet d’obtenir des informations locales concernant l’état de plastification, de détérioration et d’endommagement de la structure.

Cette échelle de discrétisation, intermédiaire entre les deux précédentes, est fondée sur l’utilisation d’éléments multicouches. L’idée principale consiste à associer une description locale du comportement des matériaux à une cinématique d’éléments de structure. Appliquée aux coques, cette approche consiste à découper l’épaisseur de la coque en « couches » pour tenir compte des différents matériaux constitutifs, tout en conservant les hypothèses cinématiques simplificatrices de Love-Kirchhoff ou de Mindlin-Reissner.