Analyse multifractale pratique : coefficients dominants et ordres critiques

Analyse multifractale pratique : coefficients dominants et ordres critiques

Détection de singularités oscillantes

On vient de voir dans le paragraphe précédent que la présence de singularités oscillantes avait pour effet de faire échouer le formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets, alors que celui basé sur les coefficients dominants permettait de mesurer correctement le spectre de singularités Df (h). On en déduit alors que, en comparant les résultats obtenus avec les deux formalismes, on peut détecter la présence de singularités oscillantes en cas de désaccord entre T L[ζcd Xi ](h) et T L[ζcl Xi ](h) pour la partie gauche. En revanche, il n’y a pas de réciproque. Si les deux formalismes co¨ıncident sur la partie gauche : T L[ζcd Xi ](h) = T L[ζcl Xi ](h) pour h ≤ h0, on ne peut pas conclure à l’absence de singularités oscillantes. En effet, il est possible [75, 12, 13, 14, 72] de définir une généralisation du spectre de singularités 72 Df (h) qui tienne compte du caractère oscillant, c’est-à-dire de l’exposant d’oscillation β 3 : c’est le spectre (parfois appelé grand-canonique) Df (h, β), avec h > 0 et β ≥ 0, défini comme la dimension de Hausdorff des ensembles E(h, β) des points pour lesquels l’exposants de H¨older est h et l’exposant d’oscillation β. L’existence de singularités oscillantes se traduit par Df (h, β) 6= −∞ 4 pour des valeurs strictement positives de β, tandis que leur absence implique Df (h, β) = −∞ si β 6= 0. Le spectre de singularités classique Df (h) est relié à Df (h, β) par : Df (h) = sup β Df (h, β). On peut a priori être dans la situation suivante : ∃β > 0 tel que Df (h, β) 6= −∞, mais Df (h) = supβ Df (h, β) = Df (h, β = 0), c’est-à-dire que, à h fixé, l’ensemble, parmi les E(h, β), dont la dimension est la plus grande est : E(h, β = 0). Il peut donc exister des singularités oscillantes, mais sans pourtant réellement affecter le spectre de singularités Df (h), puisque Df (h) = Df (h, β = 0). Dans cette situation, les deux formalismes multifractals donnent le même résultat pour la partie gauche du spectre : T L[ζcd Xi ](h) = T L[ζcl Xi ](h) pour h ≤ h0 [70, 73], et pourtant il existe des singularités oscillantes. La comparaison des résultats obtenus avec les formalismes multifractals basés sur les coefficients d’ondelette discrets et sur les coefficients dominants permet donc de détecter la présence de singularités oscillantes dans une fonction, mais ne peut en aucun cas prouver que de telles singularités n’existent pas.

Comparaison entre cascade et série d’ondelette aléatoires : vers une compréhension de la multifractalité

Comme il a déjà été fait la remarque, les processus de cascade d’ondelette aléatoire et de série d’ondelette aléatoire sont très proches de par leur définition, et ont pourtant des propriétés multifractales bien différentes : l’un possède des singularités oscillantes, l’autre pas. C’est justement la présence de singularités oscillantes qui met en défaut le formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets, alors que le formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants s’applique toujours. Nous allons voir comment la comparaison de réalisations ”jumelles”, puisqu’étant définies à partir des mêmes coefficients d’ondelette, de cascade d’ondelette aléatoire et de série d’ondelette aléatoire va permettre une compréhension plus profonde de la multifractalité.

Synthèse de réalisations jumelles

Principe Supposons que l’on ait généré des coefficients d’ondelette discrets drwc(j, k) selon une cascade multiplicative afin de synthétiser une réalisation du processus de cascade d’ondelette aléatoire. Ces coefficients, qui ont une distribution P(j) à chaque échelle 2j , qui dépend de la loi des multiplicateurs et de la distribution de départ, ne définissent pas une série d’ondelette aléatoire puisque ceux-ci sont très fortement corrélés entre eux d’échelle à échelle par les multiplicateurs de la cascade multiplicative. On peut par contre utiliser cette cascade pour générer des coefficients drws(j, k) ayant la même distribution que les drwc(j, k), mais sans dépendance d’échelle à échelle : il suffit de 3 Il existe bien sˆur une définition pour l’exposant d’oscillation β [72], mais ce niveau de précision n’est pas utile ici. 4On rappelle que la dimension de Hausdorff de l’ensemble vide est par convention −∞. calculer les drwc(j, k), puis de brouiller de fa¸con homogène les dates k à chaque échelle. On perd alors la structure de dépendance entre échelles, puisque cette dépendance se transmettait d’une échelle 2 j à une échelle 2j 0 plus fine de fa¸con localisée en temps, de la date k2 j aux dates k 02 j 0 = k2 j et k 002 j 0 = k2 j + 1 (cf. partie 4.1). Brouiller de fa¸con homogène élimine donc bien cette structure de dépendance, et l’on tire bien ainsi des coefficients drws(j, k) distribués selon la distribution P(j) et indépendants entre eux et d’échelle à échelle. Spectre de singularités Montrons alors que le spectre de singularités de la série d’ondelette aléatoire jumelle de la cascade d’ondelette aléatoire est facile à calculer. Il suffit de faire la remarque suivante : la quantité ρ(h) définie au paragraphe 4.2.1 par l’équation (4.6) n’est autre que le spectre de grain [21] (on se reportera par exemple aux chapitres de Y. Meyer ou de R. Riedi dans [3] pour la définition du spectre de grain, encore appelé spectre de grandes déviations), défini par les coefficients d’ondelette discrets de la réalisation de série d’ondelette aléatoire étudiée. On notera D g rws(h) ce spectre, dont on rappelle la définition (cf. l’équation 4.6 au paragraphe 4.2.1) : ρ(h) = Dg rws(h) = inf >0 lim sup j→−∞ − log2

Utilisation du formalisme multifractal basé sur les coefficients mmto

Le formalisme multifractal basé sur les coefficients mmto (cf. l’annexe E) a été introduit dans les années 1990 par A. Arneodo et son équipe [16, 11] afin de mesurer la partie droite du spectre de singularités. Bien que n’ayant pas re¸cu de fondement mathématique, cette méthode a été vérifiée avec succès sur un certain nombre de processus multifractals. Puisque le formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants permet lui aussi la mesure de l’ensemble du spectre de singularités, et qu’un nouveau processus contenant des singularités oscillantes (la série d’ondelette 76 aléatoire) est utilisé, il convient de comparer les formalismes multifractals basés sur les coefficients dominants et les coefficients mmto. C’est l’objet de ce paragraphe.

Processus multifractals sans singularités oscillantes

On reprend tout d’abord le processus de cascade d’ondelette aléatoire. Choix des paramètres de synthèse et d’analyse Nreal ´ = 500 réalisations du processus de cascade d’ondelette aléatoire log-normale ont été synthétisées, à l’aide de l’ondelette de Daubechies avec 6 moments nuls, avec les paramètres suivants : r = 2−13 , Nint = 24 , m = 0.37 et σ = 0.19. L’analyse est effectuée à l’aide de l’ondelette de Daubechies à 3 moments nuls pour les coefficients dominants, et à l’aide de la dérivée troisième de gaussienne, qui possède donc elle-aussi 3 moments nuls (cf. l’annexe B), pour les coefficients mmto. Notons que la zone de régression linéaire permettant la mesure des exposants ζ m rwci (q) (l’indice m se rapporte à mmto) est la même que celle utilisée pour la mesure des ζ l rwci (q) .

Table des matières

I Introduction
1 Turbulence, invariance d’échelle et régularité
1.1 La turbulence pleinement développée
1.1.1 Mécanique des fluides et turbulence pleinement développée
1.1.2 Turbulence pleinement développée et invariance d’échelle
1.1.3 Turbulence pleinement développée et régularité
1.2 Processus aléatoires
1.2.1 Introduction
1.2.2 Définition
1.2.3 Processus aléatoires et invariance d’échelle
1.2.4 Régularité des processus invariants d’échel
2 Signaux expérimentaux de turbulence pleinement développée
2.1 Données expériementales
2.1.1 Données de l’ENSL, ´ Rλ ‘ 38 et Rλ ‘
2.1.2 Données de Modane, Rλ ‘ 2
2.1.3 Données GReC, Rλ ‘
2.1.4 Hypothèse de turbulence gelée de Taylor
2.1.5 Valeurs des grandeurs physiques caractéristiques
2.2 Données issues de simulation numérique (DNS)
II Analyse multifractale
3 Régularité et analyse multifractale
3.1 Notions de régularité d’une fonction
3.1.1 Régularités ponctuelle et uniforme. Exposant de H¨older
3.1.2 Lien entre exposant de H¨older et la notion de singularité
3.1.3 Fonctions scalaires définies sur R
3.2 Classification des fonctions selon leurs propriétés de régularité. Fonctions multifractales
3.3 Analyse multifractale
3.3.1 Ensembles iso-H¨older
3.3.2 Dimension de Hausdorff
3.3.3 Spectre de singularités Df (h)
3.3.4 Analyse multifractale
4 Processus multifractals synthétiques
4.1 Cascades d’ondelette aléatoires
4.1.1 Définition
4.1.2 Propriétés multifractales
4.1.3 Un exemple : cascade d’ondelette aléatoire log-normale
4.2 Séries d’ondelette aléatoires
4.2.1 Définition des séries d’ondelette aléatoires
4.2.2 Propriétés multifractales des séries d’ondelette aléatoires
4.2.3 Série d’ondelette aléatoire et invariance d’échelle
4.2.4 Exemple d’un générateur gaussien et d’une distribution à grande échelle log-normale
5 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets
5.1 Coefficients d’ondelette discrets
5.1.1 Définition
5.1.2 Caractérisation de la régularité ponctuelle
5.2 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets
5.2.1 Fonctions de structure
5.2.2 Lien heuristique entre les exposants ζdf(q) et les singularités
5.2.3 Enoncé du formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette ´ discrets
5.3 Limitations du formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets
5.3.1 Résultats mathématiques
5.3.2 Partie ”droite” du spectre de singularités
5.3.3 Singularités oscillantes
5.3.4 Conclusions
5.4 Fonctions scalaires définies sur R
5.4.1 Coefficients d’ondelette discrets à d dimensions
5.4.2 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette discrets
6 Formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants
6.1 Les coefficients dominants lf (j, k)
6.1.1 Définition
6.1.2 Caractérisation de la régularité ponctuelle
6.2 Formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants
6.2.1 Fonctions de structure
6.2.2 Enoncé ´
6.3 Validité du formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants
6.3.1 Résultats mathématiques
6.3.2 Partie ”droite” du spectre de singularités
6.3.3 Singularités oscillantes
6.3.4 Conclusions
6.4 Fonctions scalaires définies sur R
6.4.1 Coefficients dominants à d dimensions
6.4.2 Formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants
7 Mise en oeuvre du formalisme multifractal basé sur les coefficients dominants
7.1 Méthodologie
7.2 Processus multifractals sans singularités oscillantes
7.2.1 Cascades d’ondelette aléatoires log-normales
7.2.2 Autres processus
7.3 Processus multifractals avec singularités oscillantes
7.4 Détection de singularités oscillantes
7.5 Comparaison entre cascade et série d’ondelette aléatoires : vers une compréhension
de la multifractalité
7.5.1 Synthèse de réalisations jumelles
7.5.2 Comparaison de deux réalisations jumelles
7.6 Utilisation du formalisme multifractal basé sur les coefficients mmto
7.6.1 Processus multifractals sans singularités oscillantes
7.6.2 Processus multifractals avec singularités oscillantes
7.7 Conclusions
8 Application à l’analyse multifractale de la turbulence pleinement développée
8.1 Etude des fonctions de structure
8.1.1 Fonctions de structure
8.1.2 Influence des échelles dissipatives
8.2 Mesure du spectre de singularités
8.2.1 Méthodologie
8.2.2 Résultats et validité de la mesure
8.2.3 Présence de singularités oscillantes ?
8.2.4 Comparaisons aux modèles d’intermittence
8.2.5 Conclusions et perspectives
III Analyse multifractale pratique :effet de linéarisation et ordres critiques
9 Effet de linéarisation et ordre critique
9.1 Estimations des exposants ζ(q)
9.2 Mise en évidence de l’effet de linéarisation
9.2.1 Les cascades de Mandelbrot canoniques
9.2.2 Méthodologie
9.2.3 Exposants ζdacmci(q)
9.2.4 Transformée de Legendre
9.2.5 Effet de linéarisation
9.2.6 Conclusion : résultats théoriques sur les estimateurs
9.3 Discussions sur l’effet de linéarisation
9.3.1 Interprétation multifractale
9.3.2 L’interprétation ”un coefficient = un exposant de H¨older”
1 Etude de l’effet de linéarisation
1.1 Méthodologie
1.2 Divers processus multifractals et divers formalismes multifractals
1.2.1 Processus multifractals de type densité
1.2.2 Processus multifractals de type fonction
1.2.3 Conclusion
1.3 Influences de la résolution et de la durée
1.3.1 Méthodologie
1.3.2 Dépendance selon la résolution r
1.3.3 Dépendance selon le nombre d’échelles intégrales Nint
1.3.4 Conclusion
1.4 Conclusion : l’effet de linéarisation
1.5 Estimation de l’ordre critique q
1.5.1 Estimateur qf+
1.5.2 Estimateur qc+
∗ (Nblocs)
1.5.3 Caractérisation de qc+
∗ (Nblocs)
1.5.4 Conclusion
1.6 Effet de linéarisation et ordre critique négatif q
1.6.1 Effet de linéarisation et ordre critique q
1.6.2 Illustrations
1.6.3 Estimation de l’ordre critique q
11 Effet de linéarisation en dimension d et coupes géométriques
11.1 Effet de linéarisation en dimension d
11.1.1 Définition
11.1.2 Illustration
11.1.3 Estimation de l’ordre critique q+,dD
11.1.4 Conclusion
11.2 Coupes géométriques de processus définis sur R
11.2.1 Problématique
11.2.2 Nouvelles notations
11.2.3 Analyses 1D, 2D et 3D
11.2.4 Méthodologie
11.2.5 Résultats
11.2.6 Conclusion
12 Effet de linéarisation en turbulence pleinement développée
12.1 Vitesse turbulente eulérienne
12.1.1 Mise en évidence de l’effet de linéarisation
12.1.2 Estimation de l’ordre critique q
12.1.3 Conclusion : Mesure du spectre de singularités
12.2 Dissipation turbulente
12.2.1 Méthodologie
12.2.2 Résultats
12.2.3 Conclusion
12.2.4 Effet de linéarisation et condition de Novikov 69
12.3 Conclusion
IV Au delà des lois de puissance en turbulence pleinement développée
13 Modélisation de la fonction de structure d’ordre 3 175
13.1 Comparaison des exposants bζpv (q) sur différentes expériences
13.1.1 Diverses expériences de turbulence pleinement développée
13.1.2 Diverses méthodes
13.1.3 Discussion et interprétation
13.2 La fonction de structure d’ordre 3
13.2.1 Objectif
13.2.2 L’équation de base : l’équation de de K´arm´an-Howarth
13.3 Modélisation de la fonction de structure d’ordre 3
13.3.1 Type d’écoulements considérés
13.3.2 Fonction de structure d’ordre 3
13.4 Analyse de cette modélisation
13.4.1 Maximum
13.4.2 Exposant local
13.4.3 Exposant ζv(3)
13.4.4 Influence des deux termes correctifs
13.4.5 Expressions en fonction du nombre de Reynolds
13.5 Discussions
13.5.1 Turbulence en déclin et littérature
13.5.2 Turbulence forcée
Comparaison aux données expérimentales
.1 Principe de l’ajustement
.1.1 Exploitation des résultats
.2 Turbulence homogène : données de turbulence de tunnel de Modane, Rλ
.2.1 Modélisation de la fonction de structure d’ordre 2
.2.2 Choix de la zone d’ajustement
.2.3 Résultats
.2.4 Commentaires
.2.5 Conclusion
.3 Turbulence non homogène : données de jet turbulent de l’ENSL, ´ Rλ
.3.1 Modélisation de la fonction de structure d’ordre
.3.2 Choix de la zone d’ajustement
.3.3 Résultats
.3.4 Commentaires
.3.5 Modélisation semi-empirique de la fonction de structure d’ordre 3
.4 Conclusion et perspectives
V Conclusions et perspectives
A Echelles caractéristiques de la turbulence pleinement développée
A.1 Les échelles intégrales : Ld, Lint, LK
A.2 L’échelle de Taylor λ
A.3 L’échelle de Kolmogorov η
A.4 Les nombres de Reynolds Re et Rλ
A.5 Liens entre ces échelles
B Transformées en ondelette
B.1 Définition
B.2 Transformées en ondelette continue et discrète
B.2.1 Transformée en ondelette continue
B.2.2 Transformée en ondelette discrète et analyse multi-résolution
C Description multifractale de processus densité
C.1 Quelques définitions
C.1.1 Densité
C.1.2 Mesure associée à une densité
C.1.3 Processus aléatoire densité
C.2 Analyse multifractale d’une densité
C.2.1 Régularité d’une densité
C.2.2 Analyse multifractale
C.2.3 Analyses multifractales de la densité et de la mesure
C.3 Formalismes multifractals pour les densités
C.3.1 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’agrégation
C.3.2 Applications des formalismes multifractals précédents
C.3.3 Utilisation directe des coefficients d’ondelette de la densité
C.3.4 Illustration : cascade de Mandelbrot canonique
D Construction et synthèse de processus multifractals
D.1 Echelle intégrale et résolution
D.1.1 Echelle intégrale
D.1.2 Résolution
D.2 Construction de densités multifractales à l’aide de cascade multiplicative
D.2.1 Cascades canoniques de Mandelbrot
D.2.2 Généralisation : densification de la cascade multiplicative
D.3 Construction de fonctions multifractales à l’aide de cascade multiplicative
D.3.1 Mouvement brownien fractionnaire en temps multifractal
D.3.2 Marche aléatoire multifractale
E Utilisation d’une transformée en ondelette continue
E.1 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette continus
E.1.1 Coefficients d’ondelette continus et propriétés de régularité
E.1.2 Formalisme multifractal basé sur les coefficients d’ondelette continus
E.1.3 Fonctions scalaires définies sur R
E.2 Formalisme multifractal basé sur les maxima des modules de la transformée
en ondelette continue
E.2.1 Coefficients mmto mf (a, t)
E.2.2 Formalisme multifractal mmto
E.2.3 Fonctions scalaires définies sur R