Analyse isogéométrique définition et comparaison avec la méthode des éléments finis

Dans ce chapitre nous faisons une courte introduction à la méthode d’analyse isogéométrique, en insistant sur ses analogies et différences avec la MEF. Nous présentons aussi les premiers travaux permettant de lier ces deux méthodes afin de faciliter l’implémentation de l’AIG dans les codes industriels actuels.Dans cette partie, un ensemble d’informations sur l’analyse isogéométrique nécessaire pour la compréhension de la suite du manuscrit est rappelé. Plus de détails sont disponibles dans [44,82]. Dans cette thèse, les paramétrisations B-Splines et NURBS des exemples traités sont considérées comme connues ; pour aller directement de la CAO à une représentation adaptée à une analyse par l’AIG se référer par exemple à [3].

Bases de l’analyse isogéométrique

Les fonctions B-Splines sont définies à l’aide d’un vecteur-nœud Ξ =rangées dans l’ordre croissant, p étant le degré polynomial de la B-Spline et n le nombre de fonctions associées. Les nœuds ξ] forme le patch isogéométrique. Par ailleurs, le vecteur-nœud est dit uniforme quand tous les nœuds sont uniformément espacés. Si le premier et le dernier nœud ont une multiplicité de p + 1, alors le vecteur-nœud est dit ouvert. Dans ce cas, les fonctions sont interpolantes aux bords du patch IG ce qui facilite l’application des conditions aux limites. C’est pour cette raison que dans l’utilisation courante de l’AIG et dans la suite de nos travaux, seuls des vecteurs nœuds ouverts sont utilisés.Les cas étudiés sont principalement de degré p supérieur ou égal à 2 afin que les fonctions de forme se différencient de celles des éléments finis classiques. En général, une fonction de degré pest une matrice de taille n × d. L’interpolation linéaire par morceaux entre les points de contrôle forme le maillage de contrôle. Sur la Figure 1.3, un exemple de courbe B-Spline est donné. Celle-ci est formée à l’aide de 7 points de contrôle (cercles noirs), le maillage de contrôle de cette courbe est l’interpolation linéaire entre chacun de ces points.

Fonctions Non-Uniform Rational B-Splines

Un exemple de surface NURBS, associée aux points de contrôle (points bleus), et dont le maillage de contrôle est en pointillés bleus, est donné sur la Figure 1.4. Les fonctions NURBS permettent de décrire exactement la géométrie d’une section conique. Les positions optimales et les poids des points de contrôle peuvent être déterminés en utilisant des logiciels CAO appropriés comme par exemple Rhino [81, 142].Grâce à l’analyse isogéométrique, il est facile de raffiner globalement le maillage tout en conservant la géométrie de départ. La supériorité de l’approche par rapport aux EF traditionnels s’explique en majeure partie grâce à cette propriété.— L’élévation de degré : le degré des fonctions de forme utilisé pour décrire la géométrie est augmenté ce qui entraîne, afin de conserver la régularité de l’espace initial, l’augmentation de la multiplicité de chaque nœud. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du p-raffinement éléments finis permettant l’élévation de degré de fonctions C— L’insertion de nœud : un ou plusieurs nœuds sont insérés dans le vecteur nœud initial. La continuité au niveau du nœud inséré est Cs’il est n’inséré qu’une seule fois. Cette technique de raffinement s’apparente à celle du h-raffinement éléments finis si le nœud est inséré suffisamment de fois de sorte que la régularité des fonctions soit Cξ = 0.5 est inséré dans le vecteur nœud initial.

Une type de raffinement supplémentaire émerge de ces deux précédentes techniques et est couramment appelée le k-raffinement. Il consiste en l’élévation de degré de p à q sur l’ensemble de la géométrie (grossière), puis en l’insertion d’un nœud interneξ une seule fois qui aura ainsi q − 1 dérivées continues. Ce raffinement est illustré par le passage direct entre la Figure 1.5a et la Figure 1.5c. Ce type de raffinement n’a aucune équivalence en éléments finis : il permet d’augmenter la régularité de l’espace d’approximation.Remarque 1 Les fonctions de base multi-dimensionnelles sont définies par un produit tensoriel pour des géométries de dimension supérieure à deux. Ainsi il n’est pas possible de raffiner un seul élément de l’espace paramétrique sans propager ce raffinement à l’ensemble du maillage. Des techniques se basant sur les fonctions B-Splines mais qui ne sont pas définies par produit tensoriel dans l’espace considéré ont été développées. Parmi elles on trouve les B-Splines hiérarchiques [54, 76, 145, 151], les LRB-Splines [49] ou encore les T-Splines .

L’idée principale de l’analyse isogéométrique est de modéliser exactement la géométrie avec des fonctions qui servent à approximer la solution. La Figure 1.6 montre la différence majeure entre les deux méthodes : pour la MEF la base d’approximation donne la géométrie tandis qu’avec l’AIG la base d’approximation découle directement de la géométrie.Même si la philosophie du calcul reste similaire à une étude éléments finis, des modifications conséquentes sont à prévoir dans la routine même du code en particulier car les points de contrôle analogues aux nœuds ne sont pas forcément interpolants et les fonctions de forme NURBS sont définies de façon globale (support élargi). Afin de mettre en parallèle l’AIG et la MEF, les caractéristiques principales de ces deux méthodes sont résumées dans .