Analyse et contrôle de modèles d’écoulements fluides

Contrôle local au trajectoire des équations de Navier-Stokes compressibles 1D 

Présentation 

On s’intéresse dans un premier temps aux équations de Navier-Stokes compressibles 1D suivantes : ( ∂tρs + ∂x(ρsus) = 0 dans (0, T) × (0, L), ρs(∂tus + us∂xus) − ν∂xxus + ∂xp(ρs) = 0 dans (0, T) × (0, L). (1 .1) Les inconnues sont la densité du fluide ρs et la vitesse du fluide us. On suppose que le terme de pression p = p(ρs) ne dépend que de la densité. La constante ν > 0 représente la viscosité du fluide. Pour être bien posées, ces équations doivent être complétées par des conditions de bords et des données initiales que l’on ne fait pas apparaître intentionnellement. La question que l’on se pose est celle de la contrôlabilité locale aux trajectoires en temps fini par un contrôle frontière. 

 Résultats antérieurs

 Les résultats sur la contrôlabilité locale exacte des équations de Navier-Stokes compressibles sont très récents. Le premier est du à Amosova : dans [2], elle prouve un résultat de contrôlabilité locale exacte pour des équations de Navier-Stokes compressibles 1D écrites sous forme Lagrangienne. Une année plus tard, Ervedoza, Glass, Guerrero et Puel [28] prouvent un résultat de contrôlabilité locale exacte pour le système (1 .1) autour de trajectoires constantes (ρ, ¯ u¯) sous l’hypothèse géométrique T|u¯| > L. Ce résultat est élargi dans [27] au cas 2D et 3D en domaine borné sous l’hypothèse semblable T|u¯| > L0 où L0 > 0 est supérieur à l’épaisseur du domaine dans la direction u¯. On peut aussi trouver des résultats de contrôlabilité sur les équations 1D linéarisées autour d’un état constant (¯ρ, u¯), u¯ 6= 0, avec un contrôle n’agissant que sur la vitesse [16]. Il existe quelques résultats de contrôlabilité des équations 1D de fluide compressible parfait. Dans le cas de solutions régulières, on peut citer [46]. Des résultats de contrôlabilité locale exacte ont été obtenus dans le cas de solutions isentropiques [37], généralisés un peu plus tard dans le cas des équations d’Euler non-isentropiques [38]. Le contrôle des fluides incompressibles a été beaucoup plus étudié depuis le premier travail de Fursikov-Imanuvilov [35]. Les articles [6, 17, 18, 31, 41] constituent une liste non exhaustive de travaux récents sur les équations de Navier-Stokes incompressibles. Concernant les équations d’Euler incompressibles, citons les travaux [17, 36] qui se basent sur la méthode de retour. 1 .3 Résultat obtenu Soit (ρ, u) une solution de (1 .1) telle que (ρ, u) ∈ C 2 ([0, T] × [0, L]) × C 2 ([0, T] × [0, L]), avec inf [0,T]×[0,L] ρ(t, x) > 0. (1 .2) On étend (ρ, u) sur [0, T]×R de telle manière à ce que l’hypothèse (1 .2) soit vérifiée sur [0, T]×R : (ρ, u) ∈ C 2 ([0, T] × R) × C 2 ([0, T] × R), avec inf [0,T]×R ρ(t, x) > 0. (1 .3) Théorème 1 .1. Soit T > 0, (ρ, u) ∈ (C 2 ([0, T] × [0, L]))2 une solution de (1 .1) satisfaisant (1 .2) étendue sur [0, T] × R de manière à vérifier (1 .3), X le flot associé à u. On suppose la condition géométrique suivante ∀x ∈ [0, L], ∃tx ∈ (0, T), X(tx, 0, x) ∈/ [0, L]. (1 .4) Alors il existe ε > 0 tel que pour tout (ρ0, u0) ∈ H1 (0, L) × H1 (0, L) vérifiant k(ρ0, u0)kH1(0,L)×H1(0,L) ≤ ε, (1 .5) il existe une trajectoire contrôlée (ρs, us) de (1 .1) qui satisfait la condition initiale (ρs(0, ·), us(0, ·)) = (ρ(0, ·), u(0, ·)) + (ρ0, u0) dans (0, L), (1 .6) et la condition finale (ρs(T, ·), us(T, ·)) = (ρ(T, ·), u(T, ·)) dans (0, L). De plus, on a les régularités suivantes : ρs ∈ C 0 ([0, T]; H1 (0, L)) ∩ C 1 ([0, T];L 2 (0, L)) et us ∈ H1 (0, T;L 2 (0, L)) ∩ L 2 (0, T; H2 (0;L)). 2 Introduction Les contrôles n’apparaissent pas explicitement dans le Théorème 1 .1. Comme mentionné plus haut, ils sont appliqués sur le bord du domaine, c’est-à-dire sur (0, T) × {0, L}. Le système (1 .1)–(1 .6) peut ainsi être complété par les conditions aux bords suivantes :    ρs(t, 0) = ρ(t, 0) + v0,ρ(t) pour t ∈ (0, T) tel que us(t, 0) > 0, ρs(t, L) = ρ(t, L) + vL,ρ(t) pour t ∈ (0, T) tel que us(t, L) < 0, us(t, 0) = u(t, 0) + v0,u(t) pour t ∈ (0, T), us(t, L) = u(t, L) + vL,u(t) pour t ∈ (0, T), où v0,ρ, vL,ρ, v0,u, vL,u sont les contrôles. Notons toutefois que la preuve ne fait pas apparaître explicitement ces contrôles. L’hypothèse principale du Théorème 1 .1 est l’hypothèse (1 .4). Elle est de nature géométrique et elle ne dépend pas du choix de l’extension de (ρ, u) sur [0, T] × R, mais bien uniquement de la trajectoire cible (ρ, u) définie sur [0, T] × [0, L]. Elle provient du contrôle de la densité et est indispensable pour le contrôle des équations linéarisées, comme l’a montré [48]. Dans le cas de trajectoires constantes, elle se réduit à T > L/|u| qui correspond bien à l’hypothèse de [28]. Elle apparaît aussi pour obtenir un résultat de contrôlabilité locale exacte pour les équations de Navier-Stokes incompressibles [6] et compressibles [27] en 2D et 3D. Le Théorème 1 .1 généralise le résultat de [28] qui travaille autour de trajectoire constante (ρ, u) avec u 6= 0. Remarquez d’ailleurs que même autour de trajectoire constante, ce résultat est plus précis que [28] car l’hypothèse de petitesse (1 .5) est en norme H1 (0, L) × H1 (0, L) alors qu’elle est en norme H3 (0, L) × H3 (0, L) dans 

Schéma de preuve

La stratégie de démonstration est la même que [28]. Elle repose sur le contrôle d’un système principalement linéarisé, les termes non linéaires étant traités par un argument de point fixe. La principale nouveauté de notre approche est dans le contrôle de la densité. Contrairement à [28] où la vitesse cible est constante non nulle, notre vitesse cible u peut s’annuler au bord du domaine. La difficulté sous jacente est que les caractéristiques sont alors tangentes au domaine. Nous traitons cette difficulté à travers des considérations géométriques basées sur l’hypothèse (1 .4), qui aboutissent sur un élargissement de domaine et sur la transformation du contrôle frontière en un contrôle intérieur. Cette modification de domaine et de contrôle a des répercussions importantes sur la construction de la trajectoire contrôlée de la densité et sur son estimation. La seconde nouveauté de ce travail est l’utilisation d’un seul paramètre de Carleman dans l’argument de point fixe. Cela simplifie la preuve de [28] qui reposait sur l’usage de deux paramètres issus des inégalités de Carleman.

Considérations géométriques

Comme mentionné plus haut, cette partie est le coeur de la preuve. Il s’agit d’élargir le domaine et de passer d’un contrôle frontière à un contrôle intérieur afin d’éviter le cas délicat où les caractéristiques sont tangentes au domaine et ne permettent pas le transfert d’information du bord du domaine à l’intérieur du domaine. L’idée est de considérer le point x0 ∈ [0, L] défini par x0 = sup n x ∈ [0, L] | ∃tx ∈ [0, T), X(tx, 0, x) = 0 et ∀t ∈ (0, tx), X(t, 0, x) ∈ (0, L) o . Ce point a la particularité suivante : tous les points de [0, x0) sortent du domaine par le bord x = 0 et tous les points de (x0, L] sortent du domaine par le bord x = L. On se retrouve donc dans l’un des cas de la Figure 1. 3 Introduction x0=0 T2 0 t 0 L x T =0 1 X(.,0,x ) x t T T x0 1 2 X(.,0,x )0 0 L X(.,0,x )0 x t T2 T =0 1 0 L x =L 0 x t X(.,0,x )0 0 L T2 T1 x0 Figure 1 : Trajectoires possibles pour t 7→ X(., 0, x0). Remarquons que quitte à remplacer x par L − x, on peut se placer dans l’un des deux premiers cas sans perte de généralité . D’après le Théorème de Cauchy-Lipschitz, les caractéristiques ne se croisent pas. On est donc en mesure de créer un point particulier x1 < x0 tel qu’il existe deux temps 0 < 2T0 < TL < T vérifiant X(2T0, 0, x1) < 0 et X(TL, 0, x1) > L. Il en découle l’existence d’un domaine (a, b) contenant [0, L] et vérifiant ∀x ∈ [a, b], ∃tx ∈ (0, TL), X(tx, 0, x) ∈/ [a, b]. Ceci est résumé dans la Figure 2. x0 =0 t 0 L =0 1 T X(.,0,x )0 x a b X(.,0,x )1 T2 T =L x 2T0 1 t T x0 2 X(.,0,x )0 0 L x 1 1 x a b T =L X(.,0,x ) T1 2T0 Figure 2 : Construction du domaine (a, b) : à gauche, x0 = 0, à droite, x0 ∈ (0, L).

Le système quasi-linéaire

On s’intéresse alors au contrôle à 0 du système suivant avec un contrôle distribué sur la densité :    ∂tρ + (u + u)∂xρ + ρ∂xu +  ρ ν p 0 (ρ) + ∂xu  ρ = f + vρχ dans (0, T) × (a, b), ρ(∂tu + u∂xu) − ν∂xxu = g dans (0, T) × (a, b), (1 .7) 4 Introduction où χ est la fonction indicatrice de (0, a) ∩ (L, b) et vρ le contrôle sur la densité. Les conditions aux bords associés au système (1 .7) sont les suivantes    ρ(t, a) = 0 pour t ∈ (0, T) tel que (u + u)(t, a) > 0, ρ(t, b) = 0 pour t ∈ (0, T) tel que (u + u)(t, b) < 0, u(t, a) = vu(t) pour t ∈ (0, T), u(t, b) = 0 pour t ∈ (0, T), (1 .8) où vu est le contrôle sur la vitesse. Chaque équation du système (1 .7) considérée seule est linéaire, mais le système (1 .7) n’est pas à proprement parler linéaire à cause du terme de transport u∂xρ. Nous l’incluons dans la partie linéaire car les normes introduites ne permettent pas de le traiter en terme perturbatif. Pour le contrôle de (1 .7), la stratégie consiste à commencer par contrôler l’équation de la vitesse (1 .7)2, et une fois la trajectoire u obtenue, à construire une trajectoire contrôlée ρ de (1 .7)1. Le contrôle de l’équation de la vitesse est classique et ne diffère que très peu de ce qui peut être trouvé dans [28] (voir aussi les travaux de Fursikov-Imanuvilov [35]). On introduit des poids Carleman qui nous permettent d’avoir l’inégalité de Carleman [6, Theorem 2.5] sur le problème adjoint à (1 .7)2. L’existence d’une trajectoire contrôlée u de (1 .7)2 découle de cette inégalité et les estimations sur la trajectoire contrôlée sont obtenues par des méthodes d’énergie. Nous ne nous étendons pas sur le contrôle de la vitesse et nous portons maintenant notre attention sur le contrôle de la densité.