Analyse dynamique des structures du génie civil

Cours analyse dynamique des structures du genie civil, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Systemes a un degr  de libert

Face a l’analyse d’une structure, un role important de l’ingenieur consiste a construire un modele adequat qui, de facon minimaliste, devrait permettre d’expliquer les phenomenes attendus en assemblant uniquement les elements de modelisation necessaires. Le choix d’un modele le plus simple possible amene souvent a l’etude d’un systeme a un degr de liberte, c’est-a-dire un systeme tel que la connaissance d’une coordonnee generalisee q(t) en un instant quelconque determine de facon exhaustive l’etat de la structure etudiee. Les structures laires rencontrees dans le domaine du genie civil -un portique a un etage, un haut building, un tablier de pont, un hauban- sont parfois modelisees a l’aide de systemes a un degr de liberte, ce qui permet de representer leur comportement dynamique fonda-mental. En pratique, l’etablissement de ce modele n’est pas toujours evident. A la section 2.1, nous presentons les outils qui permettront de mettre au point un modele dynamique de la structure, et d’etablir une equation du mouvement comme (1.2).
En nous limitant ensuite a l’etude des vibrations de systemes lineaires, nous etudierons successivement la reponse d’une structure a un degr de libert soumise a divers types de charges (constante, periodique, impulsionnelle), a n de presenter les bases necessaires qui nous permettront d’etudier la reponse d’une structure soumise a une charge quelconque.

Etablissement de l’équation du mouvement

Un systeme a un seul degr de libert associe a une coordonnee generalisee q est tel que la connaissance de q(t) en un instant t quelconque determine de facon exhaustive l’etat de la structure etudiee. Cela ne signi e pas que la structure soit necessairement limitee a un seul point materiel, ni qu’elle soit parfaitement rigide.
Example. Un exemple celebre est celui du pendule simple (Fig. 2.1) ou la coordonnee generalisee q est la position angulaire du pendule par rapport a la verticale. Le pendule est compose d’un bras de longueur ‘ dont une extremit est xe et l’autre est pourvue d’une masse m signi cativement plus lourde que la masse du bras. Puisque le bras est suppose ^etre parfaitement rigide, la connaissance de l’angle implique de facto celle de tous les points de la structure (masse et bras). En particulier, avec les notations de la Fig. 2.1..
L’equation du mouvement traduit l’equilibre de la structure. L’analyse dynamique d’une structure consiste a etablir cette equation, puis a la resoudre de facon a determiner l’evolu-tion au cours du temps de la coordonnee generalisee q(t). Dans cette section, trois methodes di erentes d’exprimer l’equilibre dynamique d’une structure sont presentees. Elles menent naturellement a la m^eme equation du mouvement, qui est unique sous les hypotheses de modelisation choisies. Dans la pratique, on a recours a l’une ou l’autre methode selon la di culte du probleme rencontr . Il est donc important de ma^triser les di erentes methodes pour pouvoir etablir l’equation du mouvement de facon optimale dans toute circonstance.

Seconde loi de Newton

La seconde loi de Newton, appelee egalement theoreme du centre d’inertie, s’enonce :
Dans un repere inertiel, la somme vectorielle des forces appliquees sur un objet est egale au produit de la masse de l’objet par son vecteur acceleration.
Dans le formalisme de d’Alembert, une force d’inertie mx est consideree comme une force agissant sur l’objet considere, qui subit donc une force exterieure ctive supplemen-taire. Puisque l’equilibre d’un corps se traduit par une somme vectorielle nulle des forces appliquees, le principe de d’Alembert s’ecrit Xf_i   mx = 0 et est donc strictement equivalent a la seconde loi de Newton.
Etant donne qu’il faut exprimer l’acceleration et eventuellement les forces appliquees en fonction de la coordonnee generalisee, l’application de la seconde loi de Newton ou du principe de d’Alembert devient rapidement compliquee. Ils ne sont utilises pour etablir l’equation du mouvement que lorsque le systeme etudi se limite a un ou quelques points materiels.

Example. Pendule simple.

L’application de la seconde loi de Newton veut que la masse du pendule multipliee par l’ac-celeration soit egale a la somme vectorielle des deux forces appliquees, la tension dans la barre et le poids propre. L’equilibre dans les directions x et y du systeme de reference.
Cette equation ne fait intervenir que deux termes, l’inertie et la force de rappel. En outre, elle est non lineaire puisque si ₁ et ₂ sont deux solutions non triviales de cette equation, ₁ + ₂ n’est pas solution de l’equation. Ceci est d^u a la presence de la fonction sin.

Principe des travaux virtuels

La premiere methode presentee ne permet pas d’ecrire les equations d’equilibre de systemes continus. Aussi, lorsque le systeme etudi presente un nombre important de masses ponctuelles, ecrire explicitement l’equilibre vectoriel de toutes les masses peut vite devenir impraticable. Dans ces cas, le principe des deplacements virtuels permet souvent d’obtenir l’expression recherchee des equations d’equilibre. Ce principe se base sur la notion de deplacement virtuel, un deplacement arbitrairement choisi, d’amplitude in nitesimale et cinematiquement admissible, c’est-a-dire satisfaisant les conditions limites cinematiques (appuis) de la structure. Le principe des deplacements virtuels stipule que Partant d’une structure en equilibre, le travail virtuel des forces interieures U egale celui des forces exterieures W dans un deplacement virtuel arbitrairement choisi.
Ce principe est largement applique a l’analyse statique de structures ². La seule di erence ici est qu’il convient d’introduire, en sus des forces qui seraient habituellement considerees, une force d’inertie ainsi que le travail virtuel correspondant. Tres pratiquement, c’est le fait que le deplacement virtuel soit arbitrairement choisi qui permet d’exprimer l’equilibre de la structure ou, en d’autres termes, l’equation du mouvement. Ceci est illustre a l’aide d’un exemple ci-apres.

Example. Pendule simple.

Considerons un deplacement virtuel comme indique a la gure 2.2. Dans ce deplacement, la masse du pendule se deplace de ‘ cos ( + ) ‘ cos = ‘   sin dans le sens des x positifs et de ‘ sin ( + ) ‘ sin = ‘   cos dans le sens des y positifs. Le travail virtuel e ectu par chacune des forces doit ^etre etabli pour ce deplacement virtuel.

Principe de Hamilton

Une autre facon de traduire l’equilibre d’un corps consiste a utiliser le principe de Hamilton. Dans le contexte de la mecanique classique.*
L’etablissement du Lagrangien L relatif a un probleme donne et son introduction dans 2.12 permet d’obtenir l’equation du mouvement. Lorsque la complexit du probleme etudi augmente, cette approche est souvent preferee car elle ne demande pas d’ecrire d’equilibre vectoriel ; l’equation du mouvement resulte de considerations sur des fonctions scalaires uniquement.

Conclusion

Quelque soit la structure consideree, l’application de l’une ou l’autre methode per-met d’ecrire l’equation du mouvement. De facon la plus generale, on peut facilement se convaincre qu’elle prend la forme d’une equation di erentielle de second ordre du type mq + f (q; q) = 0 ou la fonction f, dependant du probleme etudie, peut eventuellement ^etre non lineaire.
Par exemple, pour le pendule simple, f ( ) = ^mg sin est une fonction non lineaire de . ‘
L’analyse dynamique d’une structure non lineaire presente un niveau de complexit substantiellement superieur a celle d’une structure a comportement lineaire. Une premiere facon d’eviter une analyse non lineaire consiste a considerer des vibrations de faible ampli-tude autour d’une position d’equilibre (q_o; q_o). Dans ce cas, la fonction f peut etre linearisee.

1 Introduction 
2 Systemes a un degre de liberte 
2.1 Etablissement de l’equation du mouvement
2.2 Vibrations libres
2.3 Vibrations forcees, charges harmoniques
2.4 Vibrations forcees, charges impulsionnelles
2.5 Vibrations forcees, charges quelconques
3 Methodes d’integration temporelle
3.1 Principes generaux 
3.2 Exemples de schema d’integration
3.3 Stabilite et precision des methodes numeriques
4 Systemes a plusieurs degre de liberte
4.1 Generalites
4.2 Analyse dans la base nodale
4.3 Analyse dans la base modale
5 Systemes continus 
5.1 Equation du mouvement
5.2 Modes propres
5.3 Analyse en base modale
6 Analyse dynamique stochastique 
6.1 La theorie des probabilites
6.2 La theorie des processus aleatoires
6.3 L’analyse dynamique stochastique