Analyse des tolérances de systèmes mécaniques hyperstatiques – techniques de résolution

L’objectif de l’analyse des tolérances par l’approche statistique est de déterminer les indicateurs : les probabilités d’assemblage et de fonctionnalité des systèmes mécaniques hyperstatiques. Il existe plusieurs techniques qui permettent de réaliser l’analyse des tolérances de systèmes mécaniques comme évoqué dans le chapitre 1. La simulation de Monte Carlo est la méthode de référence qui a été utilisée pour l’analyse des tolérances des systèmes mécaniques hyperstatiques. La simulation de Monte Carlo couplée à une technique d’optimisation proposée dans les travaux de Qureshi (2011), est adaptée dans le contexte de cette thèse pour répondre à la problématique de l’analyse des tolérances. Cette méthode est aussi adoptée comme méthode de référence dans ce manuscrit. Les objectifs de ce chapitre sont de montrer l’adaptation de cette méthode de référence pour tenir compte des développements du chapitre précédent à savoir l’intégration des défauts de forme et la distinction entre les différents types de contact. Ensuite, une nouvelle méthode est proposée afin de réduire le temps de calcul de la simulation de Monte Carlo : la section 3.3 détaille la méthode proposée basée sur la méthode de l’estimation par noyaux (en Anglais Kernel Density Estimation (KDE)) afin de déterminer des modèles probabilistes des composantes des jeux des contacts fixes et glissants qui sont intégrés par la suite dans l’optimisation et la simulation de Monte Carlo.

Analyse des tolérances de systèmes mécaniques hyperstatiques – méthode classique

La méthode de Monte Carlo (MC) est une méthode classique d’analyse statistique des tolérances. Pour un système mécanique hyperstatique, la fonction réponse dans l’analyse des tolérances n’est pas toujours explicite comme pour les systèmes mécaniques isostatiques (Dumas et al., 2015a). Dans ce contexte, la MC est très appropriée dans le cas d’une fonction réponse implicite des systèmes mécaniques hyperstatiques. cette formalisation est modifiée dans les travaux de thèse de ce manuscrit afin de prendre en compte les défauts de forme. La condition d’assemblage est alors traduite par : « il existe une configuration admissible des jeux du système mécanique telle que les équations de compatibilité, les contraintes d’interface soient respectées ». Sa traduction mathématique est donnée par :  Le but de la méthode d’optimisation pour la vérification de la condition d’assemblage est de minimiser les composantes des torseurs jeux des contacts flottants et les composantes des déplacements cinématiques des torseurs glissants sous la contrainte du respect des équations de compatibilité et des contraintes d’interface. Cette optimisation permet de trouver, lorsqu’elle converge les meilleures composantes des torseurs jeux qui permettent l’assemblage du système mécanique. La fonction objectif de l’optimisation est alors une fonction des composantes du vecteur G’ . Pour cette optimisation la fonction objectif et les contraintes sont linéaires. Le problème d’optimisation peut alors être formulé mathématiquement par : des contacts flottants exprimées en fonction des kième échantillons de X et G* . G’ représente le vecteur rassemblant toutes les composantes des torseurs jeux des contacts flottants et les composantes des déplacements cinématiques des contacts glissants ; les composantes de G’ sont les variables qui doivent être déterminées par cette optimisation .

Apres avoir défini le problème d’assemblage et la technique d’optimisation permettant de déterminer le vecteur G’ , la simulation de Monte Carlo est lancée pour un nombre Nmc d’échantillons des vecteurs X et F. Les composantes du vecteur G* sont déterminées par d’autres optimisations sur les torseurs jeux des contacts fixes et glissants, à chaque itération de la simulation de Monte Carlo. La combinaison de la simulation de Monte Carlo et des techniques d’optimisations permet de calculer la probabilité de non-assemblage qui représente une indication sur la qualité des produits fabriqués. Cette probabilité de non-assemblage est obtenue en utilisant la relation : La formalisation mathématique du problème fonctionnel est transformée en un problème d’optimisation. Cette optimisation permet de déterminer les jeux fonctionnels de la pire des configurations des jeux. La fonction objectif de l’optimisation est alors une fonction des composantes du vecteur contenant les composantes du torseur jeu fonctionnel.