Analyse des ouvrages universitaires

Notre question de recherche Q3 (« Quelles mathématiques discrètes sont actuellement enseignées dans le supérieur et comment (quels choix) ? »), nous amène à étudier ce qui existe dans les ouvrages universitaires. Le choix de ces ouvrages universitaires est lié aux propositions des enseignants-chercheurs lors des entretiens. Nous avons choisi quelques ouvrages emblématiques en mathématiques discrètes supplémentaires. Les enseignants chercheurs que nous avons interrogés ont émis les propositions d’ouvrages universitaires suivantes : Nous remarquons que ces propositions ne recouvrent pas une variété de publics et d’auteurs ; nous avons donc fait le choix de ne pas accepter toutes les propositions. Nous avons laissé de côté Algorithms (Dasgupta, Papadimitriou, & Vazirani, 2006)ouvrage lié au domaine de l’informatique, lequel ne constitue pas notre objet d’étude. Nous avons choisi une édition plus récente du livre de Bondy et Murty (Bondy & Murty, 2008). Nous avons remplacé Discrete Mathematics and its Applications (Rosen, 2012)par l’ouvrage de Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with Applications (Epp, 2011) pour les raisons suivantes : son implication dans les sociétés savantes d’informatique, son engagement au sein de la MAA (Mathematical Association of America), et le fait que son livre soit cité par plusieurs références. Nous notons qu’Epp a notamment travaillé sur les liens entre mathématiques discrètes et informatique. De plus, nous avons choisi d’analyser Graph Theory (Diestel, 2005), ouvrage rédigé par un mathématicien qui s’intéresse aux mathématiques discrètes et à la théorie des nombres à l’intention d’un public d’étudiants en mathématiques pures. Ces choix nous permettent de disposer d’une plus grande variété dans le profil des auteurs (mathématiciens, théoriciens des graphes, informaticiens) comme dans le profil du public (étudiants en mathématiques, en informatique, chercheurs, étudiants en ingénierie et en « mathematics education »).

Nous avons choisi d’étudier trois grands types de problèmes : la recherche des parcours, les plus petits parcours, et la coloration. Ces types de problèmes illustrent des manières de raisonner en théorie des graphes que l’on peut considérer comme représentative du domaine. Ce choix est cohérent avec l’état de l’art, les entretiens, et les questionnaires. Dans chaque catégorie, les problèmes génèrent des définitions, des théorèmes, des propriétés, des preuves et des modélisations. Nous approfondirons l’étude des liens qui les unissent. Nous souhaitons étudier plus particulièrement les types de preuves utilisés, les modélisations possibles, et montrer les questions qui en découlent. Nous préciserons notamment les modélisations et les supports de représentations qui sont proposés par les étudiants. Plusieurs problèmes sont présents dans plusieurs ouvrages, mais ils ne sont pas traités de la même manière. Nous interrogeons ces aspects afin de pouvoir analyser les ouvrages universitaires. Ces caractéristiques font partie des éléments qui guident les choix institutionnels au niveau des programme et des curricula universitaires. Ceci prouve que le contenu de la théorie des graphes n’est pas stable ; il est donc nécessaire d’explorer la question des particularités et de la validité de la preuve et de la modélisation.

Cette partie constitue une présentation mathématique des trois « grands types de problèmes » en théorie des graphes (la recherche des parcours, les plus petits parcours et la coloration) destinée à conduire les analyses des ouvrages universitaires. Nous allons explorer dans cette partie plusieurs caractéristiques épistémologiques qui montrent l’efficacité de la théorie des graphes en tant qu’objet et en tant qu’outil. Nous avons précisé pour chaque « type de problèmes » des définitions de départ et un aperçu historique. Nous développons ensuite les questions mathématiques qui se posent dans certaines contextes (la recherche de différents types de preuves, les algorithmes, les modélisations et les applications). Ainsi, cette présentation mathématique comporte plusieurs objectifs : permettre au lecteur d’appréhender le domaine de mathématique étudié, préciser le lexique anglais/ français (car la plupart des ouvrages analysés sont en langue anglaise), poser de premières questions en termes de choix réalisés dans les ouvrages universitaires, et ainsi préparer l’analyse praxéologique. Pour arriver à ce but, nous nous appuyons ici sur des ouvrages de référence autour des mathématiques discrètes en général et de la théorie des graphes en particulier (Bondy & Murty, 2008; Berge, 1963; Wilson, 1996; Rosen, 2012; Epp, 2011) et sur la thèse de Cartier (2008) qui présente des éléments épistémologiques dans le cadre de son étude autour de l’objet graphe comme « outil pour enseigner la preuve et la modélisation ». Voyager le long des bords d’un graphe en commençant par un sommet et y revenir en parcourant exactement une fois chaque bord du graphe, ou voyager le long des bords d’un graphe en commençant par un sommet et en y revenir tout en visitant exactement une fois chaque sommet du graphe constitue l’un des problèmes de parcours d’un graphe. Bien que ces questions semblent similaires, la première, qui demande si un graphe a un cycle eulérien, peut être facilement résolue en examinant les degrés des sommets du graphe, alors que la deuxième, qui demande si un graphe a un cycle hamiltonien, est NP-complet28.