Analyse de stabilité globale, de résolvent et adjoint

Dans ce chapitre nous allons détailler différents types d’analyse telles que l’analyse de stabilité globale, la recherche de l’adjoint et l’analyse du résolvent. Comme nous allons le voir par la suite, ces trois analyses sont basées sur la linéarisation des équations décrivant l’écoulement (RANS dans le cas présent). Différentes questions restent ouvertes concernant ces analyses dans le cadre d’un écoulement turbulent. Par exemple, si l’on regarde la littérature en incompressible sur le cas du cylindre en D dans des régimes turbulents, deux écoles s’affrontent. Dans un premier temps, Meliga et al. [80] fait une analyse de stabilité autour d’un champ moyen (moyenne temporelle d’une simulation 2D-URANS). L’analyse de stabilité globale a permis de prédire convenablement les fréquences instables. Une analyse de sensibilité lui a aussi permis de proposer des moyens de contrôle passif. Dans ces études, la variation de la viscosité turbulente a été prise en compte dans les équations des perturbations. Cependant une étude réalisée par Mettot et al. [85] a montré que faire ces mêmes analyses autour d’un champs 3D-URANS moyenné en temps et en la troisième dimension et ce sans prendre en compte la viscosité turbulente, abouti a des prédictions légèrement plus proches des résultats expérimentaux. La conclusion de l’article est que la prise en compte du modèle de turbulence a moins d’impact que la bonne prédiction du champ moyen sur les résultats de stabilité. Cependant, il apparaît que prendre en compte la viscosité turbulente et sa variation soit nécessaire à l’explication du phénomène de tremblement de choc comme instabilité globale (Crouch et al.[29]). La prise en compte de la tension de Reynolds turbulente dans les équations des perturbations est donc une des questions aujourd’hui encore non tranchée.

Enfin, une autre question posée est le champ porteur pour la linéarisation. Faut-il prendre une solution stationnaire des équations de Navier Stokes ou RANS (on parlera de champs de base), ou bien doit-on étudier le voisinage d’un champ instationnaire moyenné en temps ? On parlera dans ce dernier cas d’une analyse sur le champ moyen. Afin d’appréhender ces problématiques, Reynolds et al. [98] proposent de regarder, à l’aide d’une décomposition triple, des instationnarités, ou ondes organisées, de fréquences découplées de celles de la turbulence fine et ce autour d’un champs moyen des équations de Navier Stokes incompressibles. La première partie de ce chapitre reprend cette approche et y rajoute les équations pour l’énergie cinétique turbulente qui apparaît dans les équations RANS (voir le chapitre 3). La seconde partie s’intéressera à l’analyse autour d’un champ moyen obtenu avec une simulation URANS. On trouvera les équations satisfaites par ce champ moyen, et celles satisfaites par l’onde organisée. On pourra alors, dans un troisième temps, comparer les équations obtenues par les deux approches précédentes afin de comprendre quels termes de l’approche URANS modélisent quels termes des équations de l’onde organisée obtenues à partir des équations de Navier Stokes. Grâce à cette comparaison, nous donnerons, dans une quatrième partie, des interprétations et des limites aux différentes hypothèses faites sur la viscosité turbulente. Dans une cinquième partie, nous donnerons les équations satisfaites par une perturbation autour d’un champ de base. Nous les comparerons avec celles obtenues autour d’un champ moyen.

On cherchera dans cette section, comment les équations obtenues dans la section précédente peuvent être reliées à un modèle URANS, pour lequel on calcule l’évolution de < u >, < k > et < ω > en modélisant la turbulence. Nous nous placerons dans le cas de k − ω de Wilcox, en oubliant les constantes pour simplifier les notations. En résumé, en partant des équations URANS, nous avons dérivé les équations satisfaites par la moyenne temporelle (équations (4.28), (4.35) et (4.43)) et l’onde organisée (équations (4.29), (4.36) et (4.44)). Dans la section suivante, nous allons comparer ces équations à celles obtenues par la décomposition triple appliquées aux équations de Navier Stokes.L’objet de cette section est de comparer les équations obtenues en utilisant la décomposition triple (section 4.1) et celles obtenues avec les équations URANS (section 4.2). Ceci a pour but d’essayer de comprendre quels termes de l’équation obtenue par le URANS modélisent quels termes de l’équation obtenue par la décomposition triple. Dans cette partie on préciseComme explicité dans l’introduction de ce chapitre, différents traitements du terme de diffusion turbulente dans les équations des perturbations ont été proposés (µ laminaire [13], système complet [29], [98], [85]) . Le but de cette section est de montrer en quoi consistent les différentes approximations faites lors de ces analyses et d’en identifier les limites. Ceci sera fait en se basant sur les équations de la section précédente. Les critères de validité qui seront explicités ici, seront appliqués dans le cas du buffet à la fin du chapitre 7.