Analyse de la méthode des éléments finis

Espaces fonctionnels

L’analyse de la méthode des éléments finis requiert une bonne dose d’analyse fonctionnelle, outil fondamental pour une véritable compréhension de cette méthode. C’est l’objet de ce chapitre. Précisons dès le départ que notre objectif n’est pas de donner un cours d’analyse fonctionnelle complet mais bien de donner les outils de base nécessaires à l’utilisation efficace de la méthode des éléments finis. Parmi les outils de base, on retrouve les notions de distributions, d’espaces de Hilbert, de Sobolev, etc. L’étude de ces notions pourrait faire l’objet d’un livre (et meme de plusieurs) et il va de soi que nous nous contenterons d’un survol assez rapide mais relativement complet. Nous omettrons toutefois beaucoup de détails et de subtilités qui ont bien sur leur importance mais qui ne sont pas essentielles à une bonne compréhension de la méthode des éléments finis.

Les distributions

Les distributions sont aux fonctions ce que les nombres irrationnels sont aux nombres rationnels. Les distributions sont en fait une généralisation de la notion de fonction. Nous en ferons une présentation sommaire en nous limitant aux notions essentielles comme la dérivation d’une distribution. Nous référons le lecteur à Gasquet-Witomski, réf. [21] pour un traitement simple et moderne de la théorie des distributions. Le lecteur plus averti peut consulter le texte de L. Schwartz, réf. [34] pour un traitement plus complet et plus classique.

Définitions et propriétés générales

Dans ce qui suit, Ω désignera un ensemble ouvert de Rn dont la frontière Γ est régulière. Rappelons maintenant deux notions importantes pour la suite.
Définition 2.1 Le support d’une fonction f(x) est le plus petit ensemble fermé de valeurs de x en dehors duquel la fonction f(x) est identiquement nulle. C’est donc la fermeture de l’ensemble des points x tels que f(x) 6= 0.
Définition 2.2 Un sous-ensemble de Ω ⊂ Rn est dit compact s’il est fermé et borné.
Définition 2.3 On appelle D(Ω) l’espace des fonctions infiniment différentiables sur Ω et dont le support est compact et inclus dans Ω.
Les fonctions de D(Ω) possèdent donc la propriété de s’annuler identiquement au voisinage du bord de Ω ou lorsque la norme de x est suffisamment grande, ce qui nous sera très utile par la suite. Elles sont de plus extremement régulières puisqu’infiniment différentiables et leurs dérivées s’annulent également au voisinage de la frontière du domaine Ω.

Dérivées d’une distribution

On peut généraliser la notion de dérivée aux distributions, ce qui nous sera très utile pour les équations aux dérivées partielles. Nous nous limiterons pour l’instant aux fonctions d’une variable et nous supposerons que l’ouvert Ω est tout simplement l’intervalle ouvert ]a,b[. Soit donc une fonction continue f(x) dont la dérivée est continue par morceaux c.-à-d. dont la dérivée possède éventuellement un nombre fini de discontinuités de première espèce (sauts de hauteur finie) dans l’intervalle ]a,b[.

Remarque Il faut savoir interpréter correctement ce résultat. Il nous assure que la dérivée de la distribution associée à f(x) n’est autre que la distribution associée à la fonction f0(x) (partout ou` cette dérivée existe) plus une contribution provenant des sauts de f(x) et faisant intervenir les distributions de Dirac aux points correspondants. De toute évidence, si la fonction f(x) est continue, alors T0 f = Tf0. La dérivée de la fonction de Heaviside entre dans le cadre de ce théorème. Cette fonction possède un saut de hauteur 1 en x = 0 et de plus, TH0 = 0, ce qui signifie que T0 H = δ0.

Un résultat d’approximation

La méthode des éléments finis utilise des sous-domaines (les éléments) de forme géométrique simple (des intervalles en dimension 1, des triangles ou des quadrilatères en dimension 2, des tétraèdres en dimension 3) sur lesquels on construit des approximations polynomiales. En d’autres termes, la solution approximative de l’équation différentielle de départ est constituée de polynomes différents sur chaque sous-domaine. Il est tout de meme important de s’assurer que l’approximation ainsi obtenue soit dans un espace de Sobolev approprié. C’est l’objet du résultat suivant.

Théorème 2.13

Soit un domaine Ω constitué de sous-domaines Ωi et une fonction u(x) telle que sa restriction à chaque sous-domaine Ωi est un polynˆome de degré n. On suppose de plus que les polynˆomes de degré n sont dans H1(Ωi) quel que soit i. Alors si la fonction u(x) est continue à la frontière entre les sous-domaines Ωi, la fonction u(x) appartient à l’espace H1(Ω). Si de plus, la fonction u(x) est différentiable au sens classique c.-à-d. ses dérivées partielles d’ordre 1 sont continues à la frontière des sous-domaines, alors u(x) ∈ H2(Ω). Démonstration (voir Ciarlet [9]) : Ce résultat est évident en dimension 1. En effet, si la fonction u(x) possède une discontinuité de première espèce à la frontière de 2 sous-intervalles, alors sa dérivée fait intervenir une distribution de Dirac qui n’est pas dans L2(Ω).