Algorithmes proximaux pour la résolution de problèmes multicomposantes

Algorithmes proximaux pour la résolution de problèmes multicomposantes apitre, nous considérons divers problèmes inverses de traitement du signal,dans lesquels la solution idéale est représentée par m composantes, notées x1,. . . , xm, appartenant respectivement à des espaces de Hilbert réels H1, . . . , Hm. De tels problèmes  apparaissent dans de nombreux domaines allant de l’imagerie couleur à l’imagerie hyper- spectrale en passant par le traitement du signal multi-canal et la décomposition d’images en composantes géométrique et de texture [Anthoine et al., 2006; Aujol et al., 2005; Aujol, Chambolle, 2005; Aujol et al., 2006; Aujol, Chambolle, 2006; Chan et al., 2007; Daubechies, Teschke, 2005; Katsaggelos et al., 1993; Kang, 1998; Tschumperlé, Deriche, 2002; Wang et al., 2008; Wen et al., 2008]. La plupart du temps, les tâches de traitement de signal/image multicomposantes peuvent être formulées comme des problèmes varia- tionnels de la forme,Le problème d’optimisation convexe (6.1) est trop générique pour être résolu di- rectement. Il doit être formulé dans un style plus structuré pour obtenir des solutions numériques efficaces. A cette fin, Φ peut être décomposée comme une somme de p fonc- tions pouvant être traitées individuellement de façon plus aisée. Cela conduit au modèle suivant, sur lequel notre attention se portera à travers ce chapitre.

Dans le cas de problèmes de traitement de signaux ou d’images univariés (m = 1), les méthodes proximales ont montré leur efficacité pour résoudre le problème 6.1 ; on pourra se référer aux chapitres précédents et aux références associées pour les travaux de bases et diverses applications. Par conséquent, il est naturel de se demander si ces méthodes peuvent être étendues aux problèmes multivariés. Des travaux initiaux qui s’orientent dans cette direction ont été menés dans [Briceño-Arias, Combettes, 2009] dans le cas particulier où m = 2, f1 est une somme séparable (i.e., f1 : (xi)1≤i≤m 7→formulation couvre également les travaux tels que [Aujol et al., 2005; Aujol, Chambolle, 2005; Aujol et al., 2006; Combettes, Wajs, 2005; Goldburg, Marks II, 1985; Huang et al., 2008; Vese, Osher, 2003; Vese, Osher, 2004; Wen et al., 2008]. L’objectif de ce chapitre est de proposer une formulation générale et de présenter, sous des hypothèses adéquates, plusieurs algorithmes proximaux offrant des garanties de convergence vers une solution du problème 6.1.Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Dans le paragraphe 6.2, nous intro- duirons les principales notations utilisées dans ce chapitre. De nouveaux résultats pour des opérateurs proximaux multicomposantes seront présentés dans le paragraphe 6.3. Dans le paragraphe 6.4, nous décrirons les algorithmes proximaux qui sont pertinents pour ré- soudre le problème 6.1. Finalement, nous illustrerons dans le paragraphe 6.5 l’efficacité des algorithmes proposés sur trois exemples d’imagerie multicomposante.

Nous présentons plusieurs algorithmes proximaux pour résoudre le problème 6.1 en formulant différentes hypothèses sur les fonctions mises en jeu. La plupart de ces algo- rithmes sont robustes aux erreurs numériques sur le calcul des points proximaux et des gradients. Pour quantifier le taux d’erreur qui est toléré, nous utiliserons la notation qui suit. Soient deux suites (xn)n∈N et (yn)n∈N dans H,Le cas particulier où f1 est une somme séparable et f2 induit un mélange linéaire des variables recherchées a été abordé dans [Briceño-Arias, Combettes, 2009]. Les résultats suivants s’intéressent au cas général ; cela nécessite comme hypothèse que l’opérateur proximal de f1 soit calculable avec une erreur quantifiable.Weiss et al., 2009] peuvent être obtenues avec des reformulations similaires dans H. Cependant, pour ces méthodes, la convergence des itérées vers une solution du problème 6.6 n’est pas garantie, même en considérant une formulation en dimen- sion finie.Dans ce paragraphe, nous relâchons l’hypothèse assurant que la fonction f2 soit une fonction lisse. Cependant nous supposons que l’opérateur proximal de cette fonction est implantable avec une erreur quantifiable.L’algorithme présenté dans ce paragraphe a pour but de résoudre le problème 6.1 sous des hypothèses techniques minimales. Le coût de l’implantation dépend de la complexité du calcul de chaque opérateur proximal.Dans [Afonso et al., 2009], un cas particulier du problème 6.12 dans des espaces de dimension finie est considéré. Les auteurs utilisent la méthode des directions alternées des multiplicateurs (ADMM : « Alternating Direction Method of Multipliers »). L’algorithme utilisé ci-dessous est une application de PPXA proposé dans [Combettes, Pesquet, 2008].Dans ce paragraphe, nous appliquons les algorithmes proposés dans le paragraphe 6.4 aux problèmes de restauration d’images stéréoscopiques, de débruitage d’images multi- spectrales et aux problèmes de décomposition d’images.