Algèbres de Hecke cyclotomiques éléments de Jucys–Murphy, représentations et limite classique

(q), est une déformation à un paramètre de l’algèbre du groupe symétrique (voir le Chapitre Introduction générale). Nous omettrons la plupart de temps la référence au paramètre de déformation q et écrirons simplement Hforment, par rapport à n, une chaîne ascendante d’algèbres. Ces algèbres possèdent un ensemble d’éléments de Jucys–Murphy. C’est un ensemble commutatif maximal (pour q générique et dans la limite classique) dont les avantages sont : description explicite (comparativement aux autres ensembles maximaux commutatifs découverts dans l’étude des modèles de chaînes de spin) et une relation simple avec les centralisateurs des membres de la chaîne. De plus, la formule inductive pour les éléments de Jucys–Murphy peut être relevée au niveau universel : il existe une chaîne d’algèbres de Hecke affinesLe principal objet d’étude de ce Chapitre est l’algèbre de Hecke, que nous notons H(m, 1, n), associée au groupe de réflexions complexe G(m, 1, n). L’algèbre H(m, 1, n) a été introduite dans [4, 10, 16] et est appelée l’algèbre de Hecke cyclotomique (ou aussi algèbre de Ariki–Koike). Pour m = 1 elle est l’algèbre de Hecke de type A, et pour m = 2 elle est l’algèbre de Hecke de type B. La théorie des représentations de l’algèbre H(m, 1, n) a été développée dans [4] (et dans [36] pour l’algèbre de Hecke de type B) ; les représentations irréductibles de l’algèbre H(m, 1, n) sont labellisées, comme pour le groupe G(m, 1, n), par les m-uplets de diagrammes de Young.

Nous insistons sur le fait que notre objectif ici n’est pas la construction de la théorie des repré- sentations en soi – elle a déjà été construite dans [4] – mais nous voulons retrouver les représentations directement à partir de l’analyse des opérateurs de Jucys–Murphy, encoder les bases des représenta- tions en terme d’ensembles de nombres qui satisfont à des règles simples, et qui sont en fait les ensembleet hérite ainsi de l’ensemble d’éléments de Jucys–Murphy de l’algèbre de Hecke affine. Un objectif de ce Chapitre est de reproduire la théo- rie des représentations de l’algèbre de Hecke cyclotomique en analysant le spectre des éléments de Jucys–Murphy. Nous généralisons l’approche de Okounkov et Vershik à la théorie des représentations de l’algèbre de Hecke cyclotomique H(m, 1, n) ; nous construisons les représentations irréductibles et montrons que l’utilisation de cette approche permet de décrire toutes les représentations irréductibles de H(m, 1, n) sous certaines conditions (légèrement plus fortes que les conditions de semi-simplicité) sur les paramètres de l’algèbre H(m, 1, n).de valeurs propres communes des éléments de Jucys–Murphy, et réinterpréter les multi-tableaux de Young en terme de lignes de valeurs propres des éléments de Jucys–Murphy. Il suit de la construction des bases des représentations que l’ensemble des éléments de Jucys–Murphy est commutatif maxi- mal (cette observation est présente dans [4]). L’approche, basée sur les opérateurs de Jucys–Murphy, est de nature récursive – elle utilise la structure de chaîne ascendante, par rapport à n, des algèbres cyclotomiques H(m, 1, n).

Organisation du chapitre

Dans la Section II.2 nous rappelons les définitions de diverses chaînes de groupes et d’algèbres intervenant plus tard, et la définition des éléments de Jucys–Murphy de la chaine des groupes deDans la Section II.3 nous commençons l’étude de la théorie des représentations de la chaîne, par rapport à n, des algèbres de Hecke cyclotomiques H(m, 1, n), généralisant l’approche de Okounkov et Vershik de la théorie des représentations du groupe symétrique. Un outil important ici est la liste des représentations, satisfaisant certaines propriétés naturelles, de l’algèbre de Hecke affine(n) et ainsi avec l’ensemble des m-tableaux stan- dards. A la fin de la Section II.4 nous calculons des analogues d’un produit scalaire invariant pour toute représentation V. Nous déter- minons les règles de décomposition des produits tensoriels de C-représentations en sommes directes de représentations irréductibles. Au cours de la preuve nous donnons plusieurs exemples explicites de telles décompositions. Cet Appendice est plutôt technique et n’est pas nécessaire pour la compréhen- sion du reste du chapitre. Il peut être sauté lors d’une première lecture.

Dans la Section II.5 nous complétons la théorie des représentations des algèbres de Hecke cycloto- miques ; nous montrons que les représentations construites sont irréductibles et non-isomorphes deux à deux (la preuve est inclue pour être complet ; elle est adoptée de [4]). Utilisant une borne supérieure (prouvée indépendamment dans le Chapitre III) pour la dimension de l’algèbre de Hecke cyclotomique et certains résultats sur les produits de diagrammes de Bratteli (rappelés dans le Chapitre I, Section I.2), nous concluons de façon standard que la classe des C-représentations irréductibles contient toutes les représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke cyclotomique, quand les paramètres de l’algèbre satisfont les restrictions de la Section II.2.