Algèbre supersymétrique

Supersymétrie

Idées et formalisme de base

Cette section est destinée aux lecteurs et lectrices qui ne connaitraient pas la supersymétrie et seraient tout de même arrivés jusqu’ici

1 . Algèbre supersymétrique

Suivant les gouts du physicien, la structure formelle de la supersymétrie peut être motivée par différents points de vue : – le point de vue matheux : on cherche la plus grande structure susceptible de contenir l’algèbre de Poincaré (ie une symétrie capable d’englober celles de l’espace-temps). Le théorème de Coleman-Mandula nous dit que les quantités conservées qui se transforment comme tenseurs sous le groupe de Lorentz se limitent aux scalaires, aux générateurs des translations et des transformations de Lorenz. On étend donc nos recherches aux superalgèbres de Lie, qui contiennent des opérateurs fermioniques. – le point de vue du phénoménologue : les observations décrites au chapitre précédent nous amènent à chercher une symétrie qui relie des particules de spins différents. Les opérateurs doivent donc en porter un et ne sont plus bosoniques. Ayant un spin demi-entier, ils risquent donc de suivre, non pas des relations de commutation, mais des relations d’anti-commutation. 

Les incontournables

Energie du système

Comme toujours en physique théorique, la physique est codée dans le lagrangien du système. Avec les notations habituelles, il est difficile de voir qu’une théorie est supersymétrique (quand elle l’est). On a donc trouvé d’autres outils plus adaptés aux théories supersymétriques. Le superpotentiel permet de décrire les interactions entre les champs. En supersymétrie, le K¨ahler intervient vis-à-vis des termes cinétiques des champs. 

Superchamps 

L’idée de superchamp reprend des outils bien connus en symétrie. Lorsqu’on travaille dans l’espace, on sait que ce sont les vecteurs, et non pas les coordonnées prises séparemment, qui ont du sens lorsqu’on effectue des rotations sur le système. De même, dans le modèle standard, les particules qui se transforment les unes dans les autres par échange de bosons sont regroupées dans des représentations du groupe de symétrie. En supersymétrie, ce sont les champs bosoniques et fermioniques qui se mélangent lors de transformations supersymétriques. On comprend donc que ce sont les superchamps, qui rassemblent dans le même objet les composantes de spin différents, qui seront à même de décrire simplement les objets supersymétriques. De même que pour un vecteur /x = x1u/1 + x2u/2 + x3u/3, on va pouvoir écrire par exemple X = x + θy + θ 2 z. o`u x, y et z seront les composantes du superchamp. Commes ces champs ont des spins différents, on sait que θ a un spin 1/2, ce qui en fait une variable de Grassmann. Pour que les transformations soient linéaires, on va être obligés de rajouter des champs auxiliaires. Leur rôle est de simplifier les calculs. Ils ne sont pas dynamiques car n’ont pas de terme cinétique et ne sont donc pas physiques. Suivant le spin des particules concernées, on a différents types de superchamps :

– Superchamps chiraux Ce champ permet de décrire un scalaire complexe φ, son superpartenaire ψ comme fermion de Weyl, accompagnés d’un champ auxiliaire F

– Le superchamp vectoriel Le superchamp vectoriel contient un vecteur, un fermion et un champ auxiliaire réel (Aµ(x), λ(x), D(x)). 

Le MSSM

L’acronyme MSSM traduit Minimal Supersymmetric Standard Model. C’est donc l’extension minimale du modèle standard. Contenu en superchamps Elle contient donc : – les superchamps contenant les champs de matière du modèle standard (fermions) et leurs partenaires supersymétriques (sfermions) : – les superchamps contenant les bosons de jauge du modèle standard et leurs superpartenaires (jauginos) – deux bosons de Higgs et leurs superpartenaires (higgsinos). On rappelle qu’il faut deux doublets de Higgs pour pouvoir écrire un superpotentiel holomorphe contenant les couplages de Yukawa pour tous les fermions et pour éviter les anomalies de jauge. – on ajoute aussi le gravitino, qui intervient naturellement quand on se place dans le cadre de la supergravité..