Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de corrélation du modèle SOS intégrable

Algèbre de Yang-Baxter dynamique et fonctions de
corrélation du modèle SOS intégrable

Application au calcul des facteurs de forme et fonctions de corrélation du modèle

SOS périodique cyclique L’obtention d’une formule explicite pour les produits scalaires et la résolution du problème inverse quantique pour le modèle périodique font que nous disposons dorénavant de tous les éléments nécessaires au calcul des fonctions de corrélation. De plus, rappelons que l’espace des états du modèle SOS cyclique, qui se doit d’être invariant sous l’action d’un opérateur local, est l’espace Fun(H[0]) des fonctions de CL s0 = s0 + Z/LZ à valeur dans l’espace de poids zéro H[0]. Or, l’action des opérateurs locaux E ∓± i ne stabilisent pas l’espace de poids zéro. En effet, ces derniers retournant un spin sur l’espace quantique, le nombre n d’opérateurs Bb ou Cb générant l’état de Bethe résultant ne satisfait plus à n = N 2 + ℵL. Les opérateurs locaux du modèle SOS cyclique s’identifient par conséquent aux opérateurs E ++ m et E −− m , en plus des opérateurs agissant sur les fonctions du paramètre dynamique (T ± sˆ , sb, δs , . . .), ces derniers stabilisant bien évidemment l’espace de poids zéro. En particulier, les deux fonctions à un point naturelles à regarder sont, pour h {u}, ωu | et | {v}, ωv i deux états propres de Bethe, h {u}, ωu |E ++ m | {v}, ωv i, (3.46) h {u}, ωu |E −− m | {v}, ωv i, (3.47) et sont reliées à la probabilité que la différence de hauteur entre le site m et le site m + 1 augmente (respectivement baisse) de +1 (de 1), alors que h {u}, ωu |δs| {v}, ωv i, (3.48) où δs : s 7→ δs,s est relié à la probabilité de hauteur locale en un site donné du modèle. Néanmoins, rien n’interdit a priori de considérer des fonctions à plusieurs points dont la différence d’opérateurs E +− et E −+ est un multiple de la période L. Nous ne traiterons cependant pas de ces fonctions de corrélation dans la suite de cette thèse, ces dernières étant propres aux modèles cycliques dont la signification physique n’est pas claire.

Vers le calcul des probabilités de hauteurs locales 

Dans les parties précédentes, nous avons obtenu une représentation sous la forme d’un unique déterminant pour les facteurs de forme, ce qui à l’aide de la complétude des états de Bethe κ-déformés nous a permis d’obtenir une expression analogue à la chaîne de spins XXZ pour la fonctionnelle génératrice de la fonction à deux points du modèle SOS périodique cyclique. Toutefois, le modèle SOS étant un modèle dynamique, les facteurs de forme, qui rappelons le sont les éléments de matrice d’un opérateur local entre deux états propres de Bethe, ne constituent pas les fonctions de corrélation les plus élémentaires. En effet, de tels éléments de matrice ne dépendent pas explicitement du paramètre dynamique dans le modèle cyclique. Or, ce sont justement les éléments de matrice dépendant explicitement du paramètre dynamique Pα1,…,αm(s; {u}, ωu; {v}, ωv) = h {u}, ωu | δs E α1α1 1 . . . Eαmαm m | {v}, ωv i  h {u}, ωu | {u}, ωu ih {v}, ωv | {v}, ωv i 1/2 , (3.67) où | {u}, ωu i et | {v}, ωv i sont deux états propres de la matrice de transfert périodique, qui constituent les “blocs élémentaires” à partir desquels n’importe quelle quantité physique peut être reconstruite par sommation. De telles quantités sont reliées aux probabilités de hauteurs locales multi-points du modèle SOS en volume infini, c’est-à-dire à la probabilité que la hauteur entre des sites successifs d’une même ligne du réseau vale respectivement s, s + α1, . . ., s + α1 + . . . + αm. Dans tout ce qui suit, nous nous restreignons au secteur ℵ = 0, c’est-à-dire au secteur pour lequel N = 2n. La quantité la plus élémentaire est ainsi la probabilité de hauteur locale, donnant la probabilité qu’en un site du réseau la hauteur soit égale à s. Cette dernière peut se construire à partir des éléments de matrice de l’opérateur δs entre deux états fondamentaux de Bethe

Produit scalaire et facteurs de forme du modèle SOS antipériodique 

Produit scalaire du modèle SOS anti-périodique 

Nous avons vu dans la partie 2.4 que la diagonalisation de la matrice de transfert antipériodique se fait dans la base des états | 0, h1, . . . , hN i qui pseudo-diagonalise l’opérateur D(u, sb). Toutefois, ses états propres font intervenir un terme de structure detN θ (h) ij que nous n’avons pour le moment pas pris la peine d’expliciter, mais qui joue un rôle particulièrement important dans la détermination des produits scalaires entre états séparés. Avant de l’expliciter, nous avons besoin de définir la fonction thêta avec caractéristique suivante : θj (ηu; τ ) = + X∞ n=−∞ exp h iπτN(n + 1 2 − j N ) + 2iπN(n + 1 2 − j N )(ηu + 1 2N ) i , (3.74) 6. C’est toujours le cas pour les valeurs moyennes des opérateurs locaux, mais également dans le cas L pair où à une solution ({u}, ωu) des équations de Bethe (2.51), il en existe une seconde ({u}, −ωu)  pour j ∈ {1, . . . , N}, et qui satisfait aux propriétés de quasi-périodicités, θj (ηu; τ ) = −e 2iπ j N θj (ηu; τ ), θj (ηu + τ ; τ ) = −e −iπNτ e −2iπN ηuθj (ηu; τ ). (3.75) En fait, le terme de structure est relié à la normalisation des pseudo-états propres de l’opérateur D(u, sb). En effet, la structure de ces pseudo-états propres (2.91) et (2.90) nous permet de calculer le produit scalaire entre l’état de référence | 0, 1 i et l’état de référence dans l’espace dual h 0, 0 |, et d’obtenir une expression explicite pour le terme de structure relié à la configuration de spins h = 0 

Facteurs de forme du modèle

SOS anti-périodique L’espace des états du modèle anti-périodique sur lequel les matrices de transfert sont diagonalisables simultanément est l’espace D¯ (0) (6VD),N engendré par les vecteurs propres de Ssˆ = Sz + 2sb de valeurs propres x η (` = 0). Une base des opérateurs agissant sur l’espace quantique Hm est toujours donnée par l’ensemble des matrices élémentaires E αβ m , avec α et β dans {+, −}. Toutefois, à l’instar de ce qui se passe pour le modèle périodique, il est clair que les opérateurs E +− m et E −+ m ne stabilisent pas D¯ (0) (6VD),N car ils retournent un spin sans décaler le paramètre dynamique. En fait, il est facile de montrer que l’action à droite de ces opérateurs sur l’espace D¯ (`) (6VD),N est telle que E −+ m : D¯ (`) (6VD),N → D¯ (`−1) (6VD),N , E+− m : D¯ (`) (6VD),N → D¯ (`+1) (6VD),N , (3.88) de telle sorte que pour deux états propres ht| et |t 0 i de la matrice de transfert anti-périodique, on ait toujours ht|E −+ m |t 0 i = 0, ht|E +− m |t 0 i = 0. (3.89) De plus, la dimension de l’espace des états D¯ (0) (6VD),N étant 2 N , l’espace End(D¯ (0) (6VD),N ) est bien sûr de dimension 2 2N . Ceci nous amène à définir les quatre opérateurs locaux suivants, E ++ m , E−− m , E+− m T + sˆ , E−+ m T − sˆ , (3.90) qui stabilisent l’espace D¯ (0) (6VD),N . Il est clair que la famille engendrée par le produit tensoriel des familles des opérateurs de type (3.90) pour m allant de 1 à N contient 2 2N éléments, et qu’elle est de plus une famille génératrice de End(D¯ (0) (6VD),N ), et en constitue par conséquent une base 8 . En fait, la famille précédente constitue une base de End(D¯ (`) (6VD),N ) pour tout entier `, les espaces D¯ (0) (6VD),N et D¯ (`) (6VD),N étant isomorphes via l’isomorphisme canonique.