Aide-mémoire et exercices corrigés mathématiques

Fonctions de plusieurs variables

Qu’il s’agisse de traiter des questions relatives à la biologie, la chimie, la physique, la production, la consommation ou encore l’environnement, etc. une modélisation adéquate s’exprime le plus souvent à l’aide de fonctions de plusieurs variables. Ce chapitre introduit les fonctions de plusieurs variables réelles en élargissant les définitions énoncées dans le module M11 pour les fonctions d’une variable réelle. Évidemment, la représentation géométrique devient plus lourde : une fonction de n variables se visualise à priori dans un espace à n+1 dimensions (n pour les variables, 1 pour la fonction), alors que les pages d’un livre sont, par nature, bidimensionnelles. Pour contourner cette impossibilité technique, nous nous limiterons aux représentations des fonctions de deux variables, soit sous forme de dessins en perspective, soit sous forme de coupes par des plans horizontaux ou verticaux qui donnent des informations souvent utiles, quoique parcellaires. Ce problème de visualisation introduit une rupture nette par rapport aux fonctions d’une variable étudiées antérieurement. Nous prenons le parti de privilégier les thèmes qui s’écartent des notions vues pour les fonctions d’une seule variable. À l’opposé, les définitions et les propriétés qui apparaissent comme des généralisations évidentes sont évoquées ou présentées brièvement. Définition Fonction de plusieurs variables B Une fonction f , définie sur une partie D de Rn et à valeurs réelles, fait correspondre à tout point x≡(x1,x2,…,xn) de D un réel unique f (x). B Le domaine de définition de f est l’ensemble D⊂Rn. B L’image par f de D est l’ensemble Imf (D)=©r ∈R¯ ¯r =f (x), x∈Rnª⊂R.B L’ensemble des points S =©(x,f (x))¯ ¯x∈Dªde Rn+1 est la surface représentative de f ; c’est l’analogue de la courbe représentative d’une fonction d’une variable. x∈Rn senote aussi~ x ou x.Sin=2,onutilisesouventlanotation(x,y),sin=3lanotation(x,y,z). Exemple d’applications à la gestion 1. La production P d’une entreprise est souvent exprimée en fonction de deux facteurs synthétiques, le capital, noté K, et le travail, notéW :P=f (K,W). 2. L’utilité U d’un consommateur dépend de ses quantités consommées. En présence de n biens, la fonction d’utilité s’exprime sous la forme U =f (x1,x2,…,xn),où xi désigne la quantité consommée dui-ème bien disponible(i =1,…,n). 3. Le coût C d’une brochure publicitaire dépend de son format F, du nombre m de couleurs utilisées, de la surface s consacrée aux photographies :C = f (F,m,s). Le format F dépend quant à lui de la longueur p, de la largeur q et du nombre de pages n : F =g(p,q,n).AinsiC =f (F(p,q,n),m,s)=h(p,q,n,m,s). Lorsquen=2,legraphe Gf ≡©(x,y,z=f (x,y))¯ ¯(x,y)∈Dª est tridimensionnel. Les axes relatifs aux variables, x et y, sont conventionnellement situés dans un plan horizontal (le domaine D apparaît alors comme un sous-ensemble de ce plan), tandis que la dimension verticale est réservée aux valeurs de z.Ainsi,àtout(a,b)∈D, dont l’image est f (a,b)∈R, correspond le point suivant du graphe : (a,b,f (a,b)) ∈ R3. Une mise en perspective permet la visualisation des sur faces à trois dimensions. Dans ce cas, l’axez est toujours placé verticalement. Toutefois, pour des raisons de lisibilité, les axes x et y ne sont pas toujours présentés selon la même orientation.
Pour n>2, la représentation plane devient malheureusement impraticable.