Actions d’automates cellulaires algébriques sur des suites périodiques

Nous allons voir au sein de cette partie qu’une discipline comme la musique peut ame- ner à se poser des questions mathématiques liées aux automates cellulaires. Nous allons voir que les résultats mathématiques issus de ces questions peuvent ensuite être utilisés en composition musicale, comme un outil, et même avoir une application concrète dans un logiciel de composition grâce à l’informatique.Lorsque nous entendons une mélodie, c’est à dire une suite de sons ayant chacun leur fréquence propre (un réel strictement positif en hertz), nous apprécions inconsciemment les « écarts » entre ces sons. Cette appréciation des écarts est nommée loi de Weber, qui est une loi psycho-physiologique, notre oreille est sensible non pas aux différences mais aux rapports de fréquences de sons. On peut donc introduire la relation d’équivalence sur l’ensemble (RNotre oreille n’est donc pas sensible au point de départ mais aux intervalles qui consti- tuent une mélodie. Quand nous écoutons une mélodie, nous cherchons à déterminer ses intervalles, mais le calcul ne s’arrête pas là. Nous sommes en effet capable de comparer les intervalles entre eux, dans leur manière de se succéder, s’ils sont identiques ou si ces derniers contiennent des symétries : Notre oreille et notre cerveau se comportent dès lors comme un automate cellulaire. En effet nous répétons des calculs locaux tous identiques selon une loi locale en passant d’une note après l’autre puis d’un intervalle après l’autre en les comparant. Nous présentons deux exemples significatifs :

Dans la figure ci-dessus, on se rend compte que l’intervalle reste toujours le même dans la mélodie. Notre cerveau réalise le calcul suivant : il compare l’intervalle 2 (une tierce majeure du tempérament à 12 notes) qui se répète, et est donc capable de nous dire que cette suite intervallique est simple, car constituée du même intervalle. se succèdent de manière périodique. Nous sommes également sensibles à cette symétrie, il s’agit éga- lement d’un automate particulier, de l’automate additif en l’occurrence même si la loi est multiplicative.Malgré sa nature multiplicative d’un point de vue physique et acoustique, nous nous représentons mentalement les enchaînements d’intervalles plutôt comme des ad- ditions d’intervalles, plutôt que comme des multiplications. En effet, notre cerveau et notre oreille appliquent naturellement un isomorphisme qui est la fonction logPourquoi choisir le logarithme en base 2 ? Quand on fait jouer une même mélodie à divers instruments ne pouvant pas jouer à la même hauteur, on se rend compte d’un phé- nomène important : les sons joués ne sont pas à la même hauteur et pourtant, nous ne sommes pas choqués par le résultat. En effet, les instruments jouent à l’octave les uns par rapport aux autres. La notion d’octave est commune à toutes les civilisations. les fré- quences jouées sont en fait toutes liées entre elles par la relation suivante dans RUn problème survient alors : peut on travailler avec une infinité de notes ? Cette ques- tion est compliquée. On peut le faire grâce à l’informatique (UPISketch le permet par exemple), mais la solution universellement adoptée a été de travailler avec un nombre fini de notes, ce qui est appelé une échelle musicale.la structure intervallique de cette dernière, un système a émergé à partir du XVIIème siècle : le tempérament égal. Il s’agit de remplir une octave en douze sons ayant des intervalles tous égaux quand on passe d’une note à la suivante. Mathématiquement cela donne l’échelle suivante :

Ce système permet de partir de n’importe quelle note et de garder la structure inter- vallique d’une mélodie intacte mais des problèmes surviennent tels que le fait 2 2 Q, un phénomène appelé battement intervient, les sinusoïdes ne sont plus en accord pur, une pollution sonore est alors émise. Cependant choisir comme échelle musicale E, +). Quand on choisit un tempérament égal, on se munit finalement de la structure d’un groupe cyclique fini qui est un objet classique en ma- thématique. Cependant il est important de remarquer qu’en choisissant cette structure de groupe, les directions descendantes sont supprimées à cause de l’équivalence à l’octave qui donne un caractère modulaire. On peut cependant utiliser l’équivalence à l’octave pour justifier par exemple dans ZMaintenant que nous avons fixé l’alphabet sur lequel nous allons travailler et les au- tomates à étudier, nous allons nous focaliser majoritairement sur un type de suites par- ticulière : Les suites périodiques. Les suites périodiques sont les suites de complexité minimale en mathématiques, ce sont des objets fréquemment étudiés et également quand des automates cellulaires agissent sur ces dernières mais aussi en musique : la notion de retour à un élément fixe est une caractéristique propre à beaucoup de civilisations et la musique occidentale n’y échappe pas. Les patterns mélodiques récurrents font partie des outils compositionnels auquels beaucoup de compositeurs ont fait et font appel. Pourquoi ne pas étudier l’action de et de D sur de telles suites ?