A propos des mathématiques financières

Préambule : à propos des mathématiques financières

On peut définir globalement les mathématiques financières « comme l’application des mathématiques aux opérations financières non instantanées (c’est-à-dire faisant intervenir le temps) » (cf. Le Borgne [2003]).
Traditionnellement, elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et d’emprunts dans un environnement certain (principalement bancaire).
Au cours de ces quarante dernières années toutefois, est apparu en matière de financement un glissement vers des systèmes d’économie des marchés financiers.
L’une des caractéristiques de ces marchés est la grande volatilité des cours boursiers et des taux d’intérêt, qu’il convient de prendre en compte. Une question apparaît alors : qu’est-ce qu’un cours boursier ? Qu’est-ce qu’un taux d’intérêt ?

Au-delà de la distinction classique taux nominaux / taux réels, il existe un clivage entre les taux courts et les taux longs, les taux d’intérêts étant différenciés par l’échéance du crédit.
La courbe des taux représente graphiquement la relation entre le niveau des taux d’intérêt et leur échéance (3 mois, 1 an, 2 ans, … , 10 ans). Elle peut être, selon les circonstances, croissante (les taux courts sont supérieurs aux taux longs),inversée (les taux courts sont inférieurs aux taux longs), en « cloche », etc.
La forme de la courbe dépend en particulier des anticipations des agents privés concernant l’évolution de l’inflation et de la politique monétaire (en effet, les taux d’intérêt relèvent de mécanismes de marché, la banque centrale ne contrôlant directement que les taux directeurs).
Enfin, le taux d’intérêt dépend également de la plus ou moins grande prime de risque exigée par les investisseurs lorsqu’ils consentent à placer leurs capitaux sur le long terme. Cette prime de risque compense la moindre liquidité des placements longs et le risque croissant avec l’échéance de perte en capital.

Intérêts simples
L’opération se déroule sur T périodes, et nous analysons le point de vue de l’emprunteur (celui du prêteur est symétrique).
En cas d’un emprunt d’un capital C au taux d’intérêt r entre les dates t=0 et t=T,avec un remboursement du capital et des intérêts en une fois à la date finale t=T, les intérêts simples sont proportionnels au taux r..