Cours notions mathématique appliqués à l’informatique

Partie 1 : Systèmes de numération
Base d’un système de numération
1.1 Principe d’une base
1.2 Système décimal
1.3 Système binaire
1.4 Système octal
1.5 Système hexadécimal
1.6 Autres systèmes de codage
1.6.a Code gray ou binaire réfléchi
1.6.b Le code BCD
1.7.c Le code ASCII
1.7 Tableau récapitulatif des différents codes binaires
2. Changement de base
2.1 Conversion d’un nombre d’une base « b » en un nombre décimal
2.2 Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’une autre base
2.3 Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire
2.4 Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal
3. Les opérations en binaire
3.1 L’addition
3.2 La multiplication
3.3 La soustraction
3.4 La division
4. Représentation des nombres
4.1 Le binaire signé : Représentation d’un entier relatif
4.1.a Représentation Signe – Valeur absolue
4.1.b Représentation par complément à 2
4.1.c Représentation biaisée (par excès)
4.2 Représentation à « virgule fixe
4.3 Représentation « à virgule flottante
Partie 2 : Algèbre de Boole
1. Généralités
2. Définitions
2.a Variable logique ou variable binaire
2.b Fonction logique
2.c Table de vérité
2.d Forme canonique
3. Les fonctions logiques fondamentales
3.a Fonction NON ou « NO
3.b Fonction OU ou « OR
3.c Fonction ET ou « AND
4. Lois de l’algèbre de Boole

Partie : Dénombrement

1. Principes de base du dénombrement

1.a Principe de la somme..

1.b Principe du produit (ou principe multiplicatif)…

2. Dénombrement des p-listes.

3. Dénombrement des Arrangements et des Permutations..

4. Dénombrement des Combinaisons..

Partie : Probabilité..

1. Vocabulaire..

2. Calcul des probabilités de base

2.a Loi de probabilité sur un univers Ω

2.b l’équiprobabilité…

2.c Calcul de la probabilité de A ∪ B…

2.d Probabilités conditionnelles et Indépendance.

3. Variables aléatoires..

3.a Caractéristiques des variables aléatoires.

3.b Indépendance de deux variables aléatoires.

3.c Opérations sur les variables aléatoires

4. Loi binomiale & Loi de Poisson..

4.a Loi binomiale..

4.b Loi de Poisson.

5. Loi normale..

5.a Variables aléatoires continues.

5.b Définition et propriétés de la loi normale…

5.c Paramètres de aX + b, X + Y , X − Y.

5.d Calcul pratique

Partie : Statistiques.

1. Vocabulaire..

2. Etude d’un caractère discret.

2.a Moyenne..

2.b Variance et écart type..

2.c Médiane…

2.d Mode et étendue..

3. Cas d’un regroupement par classes de valeurs.

3.a Moyenne..

3.b Médiane…

3.c Classe modale..

4. Représenter graphiquement des données statistiques..

4.a Cas des données non numériques

4.b Cas des données numériques non regroupées en classes

4.c Cas des données numériques regroupées en classes…

Base d’un système de numération

Principe d’une base
La base est le nombre qui sert à définir un système de numération.
La base du système décimal est dix alors que celle du système octal est huit.
Quelque soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :
ou : b : chiffre de la base de rang i et : a i i : puissance de la base a d’exposant de rang i
Exemple : base 10
1986 = (1 x 103) + (9 x 102) + (8 x 101) + (6 x 100)

Système décimal
C’est le système de base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix symboles différents: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Tout nombre écrit dans le système décimal vérifie la relation suivante:
745 = 7 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
745 = 7 × 10 × 10 + 4 × 10 + 5 × 1
745 = 7 × 102+ 4 × 101+ 5 × 100
Chaque chiffre du nombre est à multiplier par une puissance de 10 : c’est ce que l’on nomme le poids du chiffre.
L’exposant de cette puissance est nul pour le chiffre situé le plus à droite et s’accroît d’une unité pour chaque passage à un chiffre vers la gauche.
Cette méthode de décomposition sera utilisée pour toutes les autres bases.
Par convention nous l’écrirons N= (745)
. L’indice ’10’ indique la base dans laquelle le nombre est écrit. Nous verrons plus tard que cela a son importance.

Système binaire
Ce système dit de base 2 comprend deux symboles différents : 0 et 1. Chacun d’eux est aussi appelé bit qui est la contraction de l’anglais binary digit (élément binaire).
Exemple : (1001 1011)
est un nombre binaire de 8 bits.
Pour écrire un chiffre on ne peut utiliser que ces deux symboles. Ainsi l’écriture suivante est correcte : N = (11001)

Par contre l’écriture suivante ne l’est pas : N = (201253)2. Dans cette

dernière écriture les symboles 2, 3 et 5 sont interdits car la base utilisée est la base binaire (indiquée par l’indice 2).

Système octal
Le système octal utilise un système de numération ayant comme base 8 (octal => latin octo = huit).
Il faut noter que dans ce système nous n’aurons que 8 symboles seulement : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ainsi, un nombre exprimé en base 8 pourra se présenter de la manière suivante : (745)  Lorsque l’on écrit un nombre, il faudra bien préciser la base dans laquelle on l’exprime pour lever les éventuelles indéterminations (745 existe aussi en base 10). Ainsi le nombre sera mis entre parenthèses (745 dans notre exemple) et indicé d’un nombre représentant sa base (8 est mis en indice).

Système hexadécimal
Le système hexadécimal est le système de numération à base 16. Il est utilisé dans les calculateurs numériques car la représentation d’un nombre décimal est plus claire que sa représentation binaire. En effet, (3561)16 = (0011 0101 0110 0001) .
Ce système comprend 16 symboles constitués par les dix chiffres du système décimal 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 et les 6 premières lettres de l’alphabet A, B, C, D, E, F. Les valeurs des différentes lettres sont : A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 et F=15.
Exemple : N = (5AF)
(5AF)16= 5 × 16216. Ce nombre N peut se décomposer comme suit : + A × 16 1 + F × 16 0
En remplaçant A et F par leur équivalent en base 10, on obtient :
(5AF)16= 5 × 162+ 10 ×161+ 15 × 16
(5AF)= 5 × 256 + 10 ×16 + 15 × 1

Autres systèmes de codage
Code gray ou binaire réfléchi
C’est le système de codage qui, contrairement au code binaire pur est arrangé de manière à ne faire changer d’état qu’une variable à la fois d’une ligne à l’autre. Ce code est très utile pour les codeurs absolus afin d’éviter les erreurs.

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