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Extrait du cours mécanique formulation d’un problème d’optimisation
1. Introduction
• Formulation d’un problème d’optimisation :
Terminologie : variables, fonction objectif, limitations
Ecriture des problèmes sans/avec limitations
Applications en Mécanique : exemples de problèmes académiques et industriels, fonctions coût et limitations
• Représentation graphique d’un problème d’optimisation à 2 variables
• Rappels mathématiques (gradient, convexité, formule de Taylor, conditions d’optimalité dans le cas sans limitations…)
• Différentes classes de problèmes : fonctions linéaires, quadratiques, non linéaires, continues, non continues, non partout définies, différentiables ou non, convexes ou non , unimodales, multimodales
2. Notion de plan d’expériences
• Définitions : intérêt, relation avec l’optimisation, notion de facteurs, effets, interactions, ..
• Plans factoriels complets, fractionnaires, …
• Exemple
3. Méthodes d’approximation
• Approximations locales : linéarisation , linéarisation convexe, approximations quadratiques
• Exemple
• Approximations globales, surfaces de réponse
4. Minimisation à 1 dimension
• localisation du minimum (dichotomie, ..),
• Méthodes de Newton-Raphson, de la sécante, interpolation polynômiale, section d’or
• Exemple
5. Minimisation en dimension n sans limitations :
• sans dérivées : simplexe (Nelder-Mead)
• avec dérivées 1ères: relaxation, plus forte pente, gradient conjugué
• Méthodes de Newton et quasi-Newton
• Problèmes numériques : mise à l’échelle, conditionnement du Hessien
• Exemple : Minimisation de l’énergie potentielle d’une poutre cantilever
6. Minimisation avec limitations
• aspects théoriques : conditions d’optimalité, Lagrangien, point-col, interprétation
• Exemple
• Méthodes primales : directions admissibles, gradient réduit, gradient projeté
• Méthodes de pénalité
• Méthodes duales : Lagrangien augmenté
• Critères d’optimalité, exemple du FSD
7. Application au calcul des structures : calcul des sensibilités, mise en œuvre, logiciels
• calcul des sensibilités par différences finies
• calcul des sensibilités par dérivation des équations d’équilibre en éléments finis: état direct et adjoint
• optimisation de forme : remaillage, estimation d’erreur
• Mise en œuvre de l’optimisation : couplages CAO-calcul, utilisation de bibliothèques, logiciels E.F. commerciaux intégrant de l’optimisation, logiciels de gestion de calculs, logiciels de différentiation automatique
• optimisation multi-critères, multi-disciplinaire
8. Identification
• Principe de l’identification, exemple
• méthode de Levenberg-Marquardt
• exemples (système de 2 ressorts, problème de thermique)
9. Méthodes pour l’optimisation globale et cas des variables discrètes
• recuit simulé
• algorithmes évolutionnaires
• exemple (section d’une poutre)
10. Optimisation topologique
• Principe
• Aspects théoriques : homogénéisation
• Application en élasticité 2D : méthode de Ole et Sigmund, méthode ‘ESO’, algorithme évolutionnaire.
……….
Remarques générales sur l’application des méthodes d’optimisation.
– On peut utiliser divers choix de variables : aires de sections, dimensions, forme, topologie.
Tout dépend de la « liberté » dont disposent les concepteurs.
– Plusieurs formulations différentes peuvent donner des résultats équivalents, mais :
– Plusieurs formulations théoriquement équivalentes peuvent être très différentes sur le plan de leur efficacité numérique. Le choix d’une formulation efficace est souvent le premier problème à résoudre.
– Les méthodes de calcul des fonctions sont multiples : analytiques, différences finies,
éléments finis, équations intégrales
– Il est toujours préférable d’écrire le problème sous forme adimensionnelle
– Les temps calcul et la nature de la solution obtenue dépendent fortement de l’estimation initiale (utilisation des connaissances acquises sur le sujet, plans d’expériences numériques dans le domaine de conception, …)
– On ne peut que rarement affirmer que l’on atteint un minimum global ; souvent, on se contente d’améliorer une conception préexistante.
– Il n’existe pas de logiciel « boîte noire » universel, résolvant automatiquement tout problème d’optimisation; bien souvent, les logiciels proposent différents modules parmi lesquels il faut choisir l’algorithme le mieux adapté (éventuellement plusieurs méthodes successivement). On distingue généralement deux grandes catégories de méthodes : les méthodes qui recherchent un minimum local en utilisant par exemple les dérivées des fonctions, et les méthodes globales qui font souvent appel à des processus aléatoires.
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