Cours statistique et probabilités pour l’ingénieur pdf

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Principales notations
A
Statistique descriptive
1 • Représentation graphique et numérique des données
1.1 Généralités et principales déﬁnitions
1.2 Séries numériques à une dimension
1.3 Séries numériques à deux dimensions
B
Calcul des probabilités
2 • Le modèle probabiliste
2.1 Introduction
2.2 Les concepts probabilistes
2.3 Mesure de probabilité et espace probabilisé
2.4 Échantillons et sous-populations
3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance
3.1 Déﬁnition
3.2 Principe des probabilités composées
3.3 Événements indépendants
3.4 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle
3.5 Théorème de Bayes
4 • Variables aléatoires réelles
4.1 Généralités sur les variables aléatoires
4.2 Fonction de répartition
4.3 Densité de probabilité
4.4 Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes
4.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X
4.6 Indépendance de deux variables aléatoires
4.7 Moments d’une variable aléatoire
5 • Lois de probabilité discrètes
5.1 Déﬁnition d’une variable discrète
5.2 Loi de Dirac
5.3 Loi uniforme
5.4 Loi binomiale ou loi des tirages avec remise
5.5 Loi multinomiale
5.6 Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif
5.7 Loi de Poisson
5.8 Lois limites
5.9 Résumé
6 • Lois de probabilité continues
6.1 Généralités
6.2 Loi uniforme
6.3 Loi exponentielle
6.4 Loi gamma
6.5 Lois bêta de types I et II
6.6 Loi de Laplace-Gauss ou loi normale
6.7 Loi log-normale
7 • Convolution. Fonctions caractéristiques.
Convergences stochastiques
7.1 Convolution
7.2 Fonction caractéristique
7.3 Convergence des suites de variables aléatoires
7.4 Lois des grands nombres
7.5 Théorème central limite
8 • Variables aléatoires simultanées
8.1 Étude d’un couple de variables aléatoires discrètes
8.2 Étude d’un couple de variables aléatoires continues
8.3 Extension à des vecteurs aléatoires
8.4 Application : loi normale multidimensionnelle
9 • Processus aléatoires
9.1 Déﬁnitions
9.2 Processus équivalents
9.3 Moments
9.4 Continuités
9.5 Processus stationnaires
9.6 Exemples de processus aléatoires
9.7 Martingale
9.8 Mouvement brownien
9.9 Marche au hasard
9.10 Processus et chaînes de Markov
9.11 Processus ponctuels
9.12 Application aux phénomènes d’attente
C
Statistique inférentielle
10 • Caractéristiques d’un échantillon.
Application aux échantillons gaussiens
10.1 Introduction
10.2 Déﬁnition d’un échantillon aléatoire
10.3 Caractéristiques d’un échantillon aléatoire
10.4 Distribution du chi-deux
10.5 Distribution de Fisher-Snedecor
10.6 Distribution de Student
10.7 Cas particulier des échantillons gaussiens
11 • Lois des valeurs extrêmes. Échantillons artiﬁciels
11.1 Échantillons ordonnés et statistique d’ordre
11.2 Loi de la variable X(k) , réalisation de rang k
11.3 Loi de la variable X (n), plus grande valeur observée
11.4 Loi de la variable X, plus petite valeur observée
11.5 Échantillons artiﬁciels et simulation (1)
12 • Théorie de l’estimation
12.1 Exposé du problème et exemples
12.2 Déﬁnition d’une statistique
12.3 Statistique exhaustive
12.4 Information de Fisher
13 • Estimation ponctuelle
13.1 Déﬁnition d’un estimateur
13.2 Principales qualités d’un estimateur
13.3 Estimateur sans biais de variance minimale
13.4 Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao
13.5 Méthode du maximum de vraisemblance (MV)
13.6 Extension au cas de plusieurs paramètres
14 • Estimation par intervalle de conﬁance
14.1 Déﬁnition d’un intervalle de conﬁance
14.2 Exemples d’intervalles de conﬁance
14.3 Estimation et intervalle de conﬁance dans le cas d’une population d’effectif ﬁni
15 • Les tests statistiques
15.1 Notions générales sur les tests statistiques
15.2 Différentes catégories de tests statistiques
15.3 Test entre deux hypothèses simples et méthode de Neyman et Pearson
15.4 Tests entre deux hypothèses composites
15.5 Principaux tests paramétriques
16 • Tests d’ajustement et de comparaison
16.1 Tests d’ajustement
16.2 Tests de comparaison d’échantillons
16.3 Analyse de la variance à simple entrée
17 • Tests d’indépendance
17.1 Variables quantitatives
17.2 Variables ordinales et corrélation des rangs
17.3 Concordance de p classements
17.4 Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative
17.5 Liaison entre deux variables qualitatives
18 • Fiabilité
18.1 Généralités et principales déﬁnitions
18.2 Déﬁnition mathématique de la ﬁabilité
18.3 Taux de défaillance
18.4 Fiabilité d’un matériel usagé
18.5 Fiabilité en cas de remplacement préventif
18.6 Espérance de vie
18.7 Exemples de lois de ﬁabilité
18.8 Fiabilité d’un système en fonction de celle de ses composants
D
Analyse des données
19 • Introduction à l’analyse des données
19.1 Échantillon d’une variable aléatoire
19.2 Échantillon d’un couple de variables aléatoires
19.3 Échantillon de p variables aléatoires
19.4 Présentation des principales méthodes
20 • Régression linéaire simple
20.1 Introduction
20.2 Mesures de liaison
20.3 Choix des variables
20.4 Modèle théorique de la régression simple
20.5 Ajustement du modèle de régression linéaire sur des données expérimentales
20.6 Étude de la régression linéaire (aspects descriptifs)
20.7 Étude de la régression linéaire (aspects inférentiels)
20.8 Étude d’une valeur prévisionnelle
20.9 Conclusions
21 • Régression multiple. Modèle linéaire général
21.1 Introduction
21.2 Régression entre variables aléatoires
21.3 Modèle linéaire général
21.4 Estimations des paramètres du modèle de régression (Y, Xb, s)
21.5 Estimation du paramètre b du modèle linéaire
21.6 Tests dans le modèle linéaire
21.7 Intervalle de prévision
21.8 Corrélations
21.9 Fiabilité de la régression
22 • Analyse de la variance
22.1 Généralités et but de la théorie
22.2 Analyse de la variance à double entrée
22.3 Analyse de la variance orthogonale à entrées multiples
22.4 Analyse de la variance emboîtée
22.5 Carré latin
Annexes
Analyse combinatoire
Rappels mathématiques
Tables statistiques
Bibliographie
Index

1 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NUMÉRIQUE DES DONNÉES

1.1 Généralités et principales déﬁnitions
Ce premier chapitre donne les déﬁnitions et les propriétés des principales notions utiles pour comprendre et traiter un problème de statistique.
La statistique descriptive a pour but :
– de dégager les propriétés essentielles que l’on peut déduire d’une accumulation de données ;
– de donner une image concise et simpliﬁée de la réalité.
Le résultat d’une observation, d’une mesure, n’est pas égale à la valeur théorique calculée ou espérée par l’ingénieur ; la répétition d’une même mesure, réalisée dans des conditions qui semblent identiques, ne conduit pas toujours
aux mêmes résultats. Ces ﬂuctuations, dues à des causes nombreuses, connues ou inconnues, contrôlées ou non, créent des difﬁcultés aux ingénieurs et aux scientiﬁques. Quel résultat doivent-ils prendre ? Quel degré de
conﬁance peuvent-ils accorder à la décision prise ? Les réponses à une enquête varient d’un individu à un autre ; quelles conclusions valables peut-on tirer d’un sondage ? Les méthodes de la statistique descriptive apportent des réponses à ces problèmes.
Pour être soumis à un traitement statistique, un tableau de données doit comporter au moins une variable de nature aléatoire. Une déﬁnition simple du caractère aléatoire d’une variable est qu’elle peut prendre au hasard des valeurs
différentes.
1.1.1 Population et individus
Ensemble statistique ou population : réunion des individus sur lesquels on étudie une ou plusieurs propriétés.
Unité statistique : chaque individu.
Une population doit être correctement déﬁnie aﬁn que l’appartenance d’un individu à cette population soit reconnue sans ambiguïté.
Exemple 1.1
Une usine fabrique des tiges métalliques utilisées dans l’assemblage de certaines structures. Pour étudier la résistance à la traction de ces tiges, on mesure cette résistance pour un lot de 100 tiges.
Propriété étudiée : la résistance à la traction de tiges métalliques.
Population statistique : l’ensemble des 100 tiges ou des 100 mesures.
Unité statistique : chacune des tiges ou chacune des 100 mesures.
1.1.2 Caractères et variables statistiques
Caractères
On s’intéresse à certaines particularités ou caractères des individus d’une population statistique :
– un seul caractère étudié, série numérique à une dimension (paragraphe 1.2),
– deux caractères étudiés, série numérique à deux dimensions (para-graphe 1.3),
– plus de deux caractères, on doit utiliser les techniques de l’analyse multidimensionnelle (voir chapitres 19 et suivants).
Les caractères étudiés peuvent être :
– le poids, la taille, le niveau d’études, la catégorie socioprofessionnelle, le lieu d’habitation…, dans le secteur des sciences humaines,
– le poids, la masse, la composition…, dans le secteur des sciences techniques.
Modalités
Un caractère peut prendre différentes modalités. Ces modalités doivent être incompatibles et exhaustives aﬁn que l’appartenance ou la non-appartenance d’un individu à une modalité soit déﬁnie sans ambiguïté. Un caractère peut être :
– quantitatif, les modalités sont mesurables ou repérables,
– qualitatif, les modalités ne sont pas mesurables.

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