Les bases de l’algorithmique numérique

Première partie : Les bases de l’algorithmique numérique
•  Généralités
•  Les nombres sur l’ordinateur
•  Les calculs sur ordinateur
•  Les erreurs, les chiffres significatifs, les tests
•  les arithmétiques alternatives
•  Considérations algorithmiques
Deuxième partie : Equations non linéaires
•  Racine d’une équation
•  Evaluation d’un polynôme
•  Dichotomie
•  Méthode de Newton
•  Localisation des racines
•  Méthode de Bairstow
Troisième partie : Systèmes d’équations linéaires
•  Généralités et définitions
•  Méthodes directes
–  Méthode de Gauss
–  Méthode du LU
–  Méthode de Cholesky
•  Méthodes itératives
•  Problèmes aux moindres carrés
•  Résolution aux moindres carrés
Quatrième partie : Différentiation et Intégration numériques
•  Approximation par un polynôme
•  Différentiation numérique
•  Intégration numérique
•  Intégrales multiples
Cinquième partie : Interpolation – Approximation – Lissage: notions
•  Problème
•  Interpolation
•  Meilleure approximation
•  Lissage
Conclusion

Généralités

•  Algorithmique numérique ou Analyse Numérique ?
•  2 approches complémentaires possibles (nécessaires)
–  Unicité de la solution, convergence, vitesse de convergence, …
•  En lien direct avec les cours d’algèbre et d’analyse
–  Développement d’algorithmes pour résoudre les problèmes
•  Dans les meilleures conditions
•  Avec le problème tel qu’il se pose
–  Et pas tel que l’analyse numérique « aimerait » qu’il se pose
•  L’approche algorithmique n’exclut pas
–  De savoir calculer avec un ordinateur
–  De savoir analyser et maîtriser les calculs
–  De connaître les principaux résultats théoriques
…..
Algorithmique numérique : les erreurs
•  Les erreurs sont très nombreuses
•  Elles peuvent se compenser
•  Elles ont plutôt tendance à se cumuler
•  Les erreurs introduites par l’ordinateur doivent être
–  Maîtrisées,
–  Analysées,
–  Compatibles avec les erreurs sur les données et de modélisation,
–  Compatibles entre elles,
–  Acceptables au niveau du résultat.
….
•  On peut aussi avoir un algorithme mal conditionné (instable)
•  Cas particulier des matrices mal conditionnées
•  Données arrondies, coefficients arrondis, calculs approximatifs
–  L’erreur d’arrondi sur les données peut entraîner à elle seule d’énormes erreurs sur le résultat
–  Plus tout le reste
–  On peut avoir 0 chiffres corrects avec un problème très mal conditionné
•  Voir TP
•  En prime : propagation des erreurs, méthodes de résolution instables, …
…

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Algorithmique numérique et systèmes d’équations linéaires (2.5 Mo) (Cours PDF)