Modèle à une période, (d + 1) actifs et k états du monde

Les options de change

Définition 

L’option de change est un instrument de couverture du risque de change. C’est un contrat entre un acheteur et un vendeur qui, moyennant le paiement d’une prime, donne à l’acheteur de l’option le droit, mais non l’obligation, d’acheter ou de vendre une certaine quantité d’un actif financier contre une autre, à un prix déterminé dit prix d’exercice et ce à ou jusqu’à une date d’expiration dite date d’exercice, au vendeur de l’option.
Une option d’achat (par exemple de EURO) s’appelle un call (EURO). Une option de vente (par exemple de USD) s’appelle un Put (USD). L’option peut-être soit à l’européenne option exerçable uniquement à l’échéance ou à l’américaine dans ce cas elle est excerçable à tout instant jusqu’à l’échéance.
– Prix d’exercice : c’est le prix d’achat ou de vente garanti par le vendeur de l’option contre une prime qui est le prix de l’option.
– L’actif sous-jacent : sur lequel porte l’option dans la pratique, il peut s’agir d’une action, d’une obligation, d’une devise, d’un taux d’intérêts, etc…
– Le montant : c’est-à-dire la quantité d’actif sous-jacent à acheter ou à vendre.
L’option elle-même, a un prix, appelé la prime
L’échéance : ou date d’expiration, qui limite la durée de vie de l’option si l’option peut-être exercée à n’importe quel instant précédant l’échéance, on parle d’option américaine. Si l’option ne peut-être exercée qu’à l’échéance, on parle d’option européenne.
Lorsque l’option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l’absence de colation, le problème du calcul de la prime se pose. Et, même pour une cotée, il peut être intéressant de disposer d’une formule ou d’un modèle permettant de détecter d’éventuelles anomalies de marché. Examinons, pour fixer les idées, le cas d’un call européen, d’échéance T, sur une action dont le cours à la date t est donné par St . Soit K le prix d’exercie. Il est clair que si, à l’échéance T, le prix K est supérieur au cours ST , le dé-tenteur de l’option n’a pas intérêt à exercer. Par contre, si ST > K, l’exercice de l’option permet à son détenteur de réaliser un profit égal à ST ¡ K, en achetant l’action au prix K et en la revendant sur le marché au cours ST . On croit qu’à l’échéance, la valeur du call est donné par la quantité : (ST ¡ K)+ = max(ST ¡ K; 0)
Pour le vendeur de l’option, il s’agit, en cas d’exercice, d’être en mesure de fournir une action au prix K et, par conséquent de pouvoir produire à l’échéance une richesse égale à (ST ¡ K)+. Au moment de la vente de l’op-tion qu’on prendra pour origine des temps, le cours ST est inconnu et deux questions se posent :
1) Combien faut-il faire payer à l’acheteur de l’option, autrement dit com-ment évaluer à l’instant t = 0 une richesse (ST ¡ K)+ disponible à la date T ? C’est le problème du pricing.
2) Comment le vendeur, qui touche la prime à l’instant 0, parviendra-t-il à produire la richesse (ST ¡ K)+ à la date T ? C’est le problème de la couver-ture.
La notion d’arbitrage et la relation de parité Call-put
La réponse aux deux questions qui précèdent ne peut se faire qu’à partir d’un minimum d’hypothèses de modélisation. L’hypothèse de base, retenue dans tous les modèles, est que dans un marché suffisamment fluide, il n’y a pas d’opportuinité d’arbitrage, c’est-à-dire qu’il est impossible de faire des profits sans prendre de risques.
A partir de cette simple hypothèse, on peut établir des relations entre les prix d’un call et d’un put européen de même échéance T et de même prix d’exercice K, sur une action de cours ST à l’instant t.
Nous supposerons qu’il est possible d’emprunter ou de placer de l’argent à un taux constant r. Désignons par Ct et Pt les prix respectifs du call et du put à l’instant t. En l’absence d’opportinuité d’arbitrage, on a la relation suivante, valable à tout instant t < T et appelée « relation de parité call-put » Ct ¡ Pt = St ¡ Ker(T ¡t)
Pour faire comprendre la notion d’arbitrage, montrons comment on pourrait réaliser un profit sans risque si on avait, par exemple Ct ¡ Pt > St ¡ Ker(T ¡t)
A l’instant t, on achète une action et un put et on vend un call. Cette opération dégage à l’instant t un profit net égal à Ct ¡ Pt ¡ St
Si cette somme est positive, on la place au taux r jusqu’à la date T, sinon, on l’emprunte au même taux. A la date T, deux cas peuvent se présenter :
– Si ST > K : alors, le call est exercé, on livre l’action, on encaisse la somme K et on solde l’emprunt ou le prêt, de sorte qu’on se retrouve avec une richesse égale à : K + er(T ¡t)(Ct ¡ Pt ¡ St) > 0
– Si ST • K : alors, on exerce son put et on solde comme précédemment, de sorte qu’on se retrouve encore avec une richesse égale à K + er(T ¡t)(Ct ¡ Pt ¡ St):
Dans les deux cas, on a réalisé un profit sans mise de fond initiale : c’est un exemple d’arbitrage.

Le modèle de Black-Scholes

Si les raisonnements par arbitrage fournissent de nombreuses relations inté-ressantes, ils ne sont pas suffisants pour obtenir des formules de prix. Pour cela, on a besoin de modéliser de façon plus précise l’évolution des cours. Black et Scholes ont été les premiers à proposer un modèle conduisant à une formule explicite pour le prix d’un call européen sur une action ne donnant pas de dividende et à une stratégie de gestion qui, dans le cadre du modèle, permet au vendeur de l’otion de se couvrir parfaitement, c’est-à-dire d’élimi-ner totalement le risque. Le prix du call est, dans le modèle de Black-Scholes, la somme d’argent dont on doit disposer initialement pour pourvoir suivre la stratégie de couverture et produire ainsi exactement la richesse (ST ¡ K)+ à l’échéance. De plus, la formule obtenue ne dépend que d’un paramètre non directement boursable sur le marché et appelé « volatilité » par les praticiens. C’est le recours à la notion d’intégrales stochastiques pour exprimer les gains et les pertes dans les stratégies de gestion de portefeuille qui permet d’utili-ser le calcul stochastique et, en particulier, la formule d’Itô, et conduit à des expressions calculables.

Valorisation d’actifs financiers

Modèles à deux dates et deux états du monde

Nous allons étudier le cas d’un marché financier à deux dates, la date 0 et la date 1; dans le cas très simple où il n’y a que deux états du monde pos-sibles à la date 1: Il est évident qu’une telle situation n’est pas très réaliste et qu’il s’agit d’un cas ”d’école” dont l’étude va nous permettre de déga-ger des concepts (portefeuille de couverture, arbitrage, probabilité neutre du risque…) qui nous seront utiles pour aborder ensuite le modèle de B.S. correspondant à des situations plus réalistes.
Le modèle
Le marché financier étudié comporte une action et un placement sans risque (comme un livret d’épargne).
A la date 0 (aujourd’hui) l’action vaut S francs. A la date 1 (demain, dans 6 mois), l’action vaudra Sh ou Sb francs suivant que son prix monte ou descend, ce qui n’est pas connu à la date 0. On a coutume de dire que l’action vaut Sh francs selon ”l’état du monde”.
Le placement sans risque à un taux de rendement égal à r(r > 0) : un franc placé aujourd’hui rapportera 1 + r francs à la date 1 (quel que soit l’état du monde), c’est pour cela qu’on l’appelle placement sans risque.
On envisage alors une option d’achat : une option d’achat (call) est un ins-trument financier : l’acheteur de l’option paye à la date 0 une somme q qui lui donne le droit, mais non l’obligation, d’acheter à la date 1 l’action à un prix K (prix d’exercice) fixé lors de la signature du contrat à la date 0: Au moment où il prend la décision d’acheter ou non cette action, il a connais-sance de son prix, ici Sh ou Sb: Si le prix de l’action à la date 1 est plus grand que K; le détenteur de l’option achète l’action au prix convenu K et la revend immédiatement, réalisant ainsi un gain ; sinon il n’achète pas. C’est le principe d’une ”promesse de vente”.
Une option de vente (put) donne le droit à son acheteur de vendre une action à un prix K convenu lors de la signature du contrat.
Le bénéfice lié à un call n’est pas limité et les pertes sont limitées à q:
Pour un put, le bénéfice est limité et les pertes sont illimitées.
Portefeuille de couverture, valeur de l’option

Option d’achat

Nous allons, dans un premier temps, considérer le cas où Sb • K • Sh: Les deux autres cas sont moins intéressants : si K < Sb; le détenteur de l’option aura, dans chaque état du monde, un gain au moins égal à Sb ¡ K; et le vendeur fera toujours une perte (et l’on est dans le cas contraire si Sh < K: Supposons donc Sb • K • Sh: Nous allons voir que l’on peut constituer un ”portefeuille” qui se comporte comme l’option. Un portefeuille est constitué d’un couple (fi; fl ) où fi la somme en francs placée dans l’actif sans risque et fl est le nombre d’action que l’investisseur détient (fi et fl) sont de signe quelconque : on peut vendre à découvert l’action1 et emprunter de l’argent). Si (fi et fl) est le portefeuille détenu à la date 0; sa valeur en francs est fi + flS: A la date 1; ce même portefeuille vaut fi(1 + r) + flSh si l’on est dans le premier état du monde, l’état haut (le prix de l’action a monté), fi(1 + r) + flSb si l’on est dans le second état du monde, l’état bas.