Discrétisation de processus continus

Discrétisation de processus continus

Les méthodes de Monte Carlo utilisées, en assurance, lors de la mise en œuvre de modèles du type DFA ou, en finance, lors de l’évaluation d’options font souvent usage de la discrétisation d’équations différentielles stochastiques (EDS). En effet la fréquence de variation du prix des actifs financiers et la commodité mathématique ont souvent conduit les économistes à les modéliser par des processus continus.

Toutefois la simulation effective de ces processus requiert la discrétisation du temps et donc la détermination de la loi du processus aux instants de discrétisation. Si pour certains processus tels que le mouvement brownien géométrique, il est possible de déterminer la loi du Modélisations avancées en assurance 173 processus à n’importe quel instant (on parlera alors de discrétisation exacte),

pour les autres, il va falloir les approcher par des processus discrets qui convergent vers les processus que l’on souhaite simuler (on parlera alors de discrétisation approximative). Même si cette problématique n’est pas abordée ici, remarquons que la discrétisation temporelle est également nécessaire lors de l’estimation des paramètres des modèles ; cette dernière opération reposant évidemment sur des données discrètes.

En particulier, Giet (2003) met en lumière l’incidence du choix de la discrétisation sur la qualité de l’estimation des paramètres. L’objet de ce chapitre est de présenter les différents procédés de discrétisation usuellement employés ainsi que leur efficacité en terme de rapidité de convergence. Prenons le cas d’un processus défini par l’EDS suivante : ( ) ( )      = σ + = x X dB t X dt t X dX t t t t 0 µ , , où B est un mouvement brownien standard. Le calcul d’Itô permet de voir cette équation comme une formulation symbolique de : ( ) ( ) ∫ ∫ σ + µ + = t s s t s t dB s X ds s X x X 0 0 , , .

Si le processus considéré ne dispose pas d’une discrétisation exacte, un développement d’Itô-Taylor de l’équation sous sa forme intégrale nous permet de disposer d’une version discrétisée approximative. Cette approximation est d’autant plus précise que le développement intervient à un ordre élevé. Dans la suite, on notera δ le pas de discrétisation, c’est à dire le temps qui s’écoule entre deux instants où l’on va simuler le processus.

T désignera l’horizon de projection. D’une manière générale, X sera le processus que l’on souhaite simuler et ( ) [ ] δ 1 δ / ; ~ T k k X ∈ le processus discret effectivement utilisé pour simuler des réalisations de X aux instants de discrétisations δ k où [ ] 1; /δ k T ∈ . Enfin ε désignera une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. 

Discrétisation exacte

La simulation d’un processus d’Itô pourra être effectuée directement (sans erreur de discrétisation) dès lors que celui-ci admet une discrétisation exacte. Nous allons voir ici ce qu’il faut entendre par le terme discrétisation exacte qui peut apparaître comme une oxymore et voir que dans le cas des modèles de Black et Scholes d’une part et de Vasicek d’autre part, la simulation des processus pourra passer par une discrétisation exacte. 

Mesure et gestion des risques en assurance – Pierre Thérond 2.1.1. Définition Définition 35. Discrétisation exacte d’un processus continu Un processus ( ) [ ] δ 1 δ / ; ~ T k k X ∈ est une discrétisation exacte du processus X si [ ] δ δ δ 1 0 δ k L k X X T k ~ ~ / ; , ∈ ∀ > ∀ .

Un processus admet une discrétisation exacte dès lors que l’on peut résoudre explicitement l’EDS qui lui est associée. C’est notamment le cas du mouvement brownien géométrique retenu par Black et Scholes pour modéliser le cours d’une action ou encore celui du processus retenu par Vasicek pour modéliser le taux d’intérêt instantané.