Systèmes dynamiques

Systèmes dynamiques

Les systèmes dynamiques sont les modélisations mathématiques d’objets évoluant selon des lois précises. On distingue les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations différentielles, et les systèmes dynamiques à temps discret, où l’évolution d’un objet est vue à chaque instant comme dépendant de sa position à l’instant précédent.

Nous nous intéressons ici à ce deuxième sujet, pour lequel l’évolution à chaque instant est donnée par une fonction continue de l’espace des objets dans lui-même, que l’on itère pour obtenir leurs trajectoires. Parmi les systèmes dynamiques discrets les plus étudiés, on peut citer les fonctions continues de l’intervalle réel [0, 1]; en particulier la fonction logistique ou la transformation du boulanger produisent des évolutions étonnantes.

On pourra notamment se référer à [54, 55]. Dans ce chapitre, nous donnons les principales définitions relatives aux systèmes dynamiques discrets en toute généralité et aux divers comportements qu’ils peuvent faire apparaître, qui guideront notre étude de systèmes particuliers dans les chapitres suivants.

Systèmes dynamiques discrets

Définition 1.1.1 (SDD).– Unsystème dynamique discret(SDD)estuncouple (X,F)oùX estunespace métrique compact non vide, appelé espace des phases et F : X → X une fonction continue. Lorsque X peut être compris facilement du contexte, on notera simplement F.

Un ensemble Y ⊆ X est F-invariant (resp. fortement F-invariant, F-rentrant) si F(Y) ⊆ Y (resp. F(Y) = Y, F( Y) ⊆◦ Y). Il est F-préinvariant (resp. fortement F-préinvariant) si F−1(Y) ⊆ Y, ou, de manière équivalente, Y est F-invariant (resp. F−1(Y ) = Y, i.e. Y et YC sont F-invariants).– (Y,F|Y ) est un sous-système de (X,F) si Y ⊂ X est un fermé F-invariant et F|Y : Y → Y x → F(x) représente la restriction de F sur l’ensemble Y.

Un SDD (X,F) est mi nimal s’il ne contient aucun sous-système strict, i.e. tout fermé Y ⊂ X F-invariant est soit ∅, soit X. Notons que si Y est F-invariant, alors ( Y,F|Y ) est un sous-système. On notera ❞ la distance définie sur X; pour tout point x ∈ X et tout ε > 0, Bε(x) = {y ∈ X|❞(x,y) < ε} est la boule ouverte de centre x et de rayon ε.

Par la suite, syntaxiquement, un SDD (X,F) héritera des propriétés de sa fonction : par exemple, il est ouvert si l’image par F de tout ouvert de X est ouverte. Lorsque cela ne prête pas à confusion, il héritera également des propriétés de son espace des phases : par exemple, il est parfait si X n’admet aucun point isolé, i.e. aucun singleton n’est ouvert. 

SYSTÈMES DYNAMIQUES

Bien sûr, les itérés (X,Fj) d’un SDD (X,F), où j ∈ ◆, sont également des SDD. On dit alors que F est une racine jème de Fj. En général, un SDD admet de nombreuses racines jèmes. On rappelle d’autre part que la compacité permet aux SDD bijectifs d’être réversibles, i.e. leur inverse est toujours un SDD. Orbites.

Les orbites sont les séquences de points de l’espace des phases qui représentent les trajectoires des objets par le SDD. Définition 1.1.2 (Orbite). Soit (X,F) un SDD.– La F-orbite du point x ∈ X est la séquence des points Fj(x) quand la génération j ∈ ◆ augmente. Par abus de langage, l’orbite désignera également l’ensemble OF(x) = Fj(x)) j ∈ ◆ correspondant; on notera O+ F(x) = Fj(x) j ∈ ◆∗ l’orbite à partir de la génération 1. OF(Y) (resp. O+ F(Y )) représente l’union x∈Y OF(x) (resp. x∈Y O+ F(x)) des orbites pour Y ⊂ X et OF l’ensemble de toutes les orbites.

Si F est surjectif, on définit une F-biorbite de x ∈ X comme étant une séquence (xj)j∈❩ telle que x0 = x et pour toute génération j ∈ ❩, xj+1 = F(xj). L’ensemble des F-biorbites sera noté O∗ F. Notons que la clôture OF(x) de l’orbite de tout point x est un sous-système de F. Soit (X,F) un SDD. Si U,V ⊂ X, on note U j V, où j ∈◆∗, si Fj(U)∩V= ∅, U V s’il existe une telle génération j > 0. On utilisera des notations semblables pour des points x,y ∈ X à la place des ensembles U,V .

Actions. Le SDD (X,F) induit une action du monoïde ◆ sur l’espace des phases X par x → Fj(x) où j ∈◆. On peut généraliser la notion de SDD à toute action continue d’un monoïde commutatif finiment engendré sur un espace compact, comme dans [56]. Par exemple, dans le cas de SDD bijectifs, cette action peut être prolongée à ❩.

Toutes les notions définies dans la suite peuvent être adaptées à ce formalisme, mais pour garder un minimum de lisibilité, nous en resterons à la définition ci-dessus. Avant d’étudier certains systèmes dynamiques plus en détail, on va définir les notions de morphismes, de simulations, ainsi que les constructions qui permettent de les manipuler