Prise en compte de la dépendance

Prise en compte de la dépendance

Analyse mathématique de la dépendance

L’étude mathématique de la dépendance entre variables aléatoires nous permet de disposer d’outils pour quantifier la force de cette dépendance : les mesures de dépendance, et de structures de dépendance. Ces deux aspects sont abordés successivement. 

Mesures de dépendance

L’objet de ce paragraphe est de définir ce qu’est une mesure de dépendance et de présenter les mesures les plus usuelles. On se restreint tout d’abord au cas de deux risques avant de généraliser.

Mesure de dépendance Une mesure de dépendance est une application qui associe à deux variables aléatoires un réel permettant de quantifier la force de la dépendance qui lie ces deux variables aléatoires. Cette définition n’est pas très restrictive mais en pratique, on demandera souvent à une mesure de risque de posséder un certain nombre de « bonnes propriétés », i. e. d’être une mesure de concordance définie comme suit.

Définition 21. Mesure de concordance Une mesure de dépendance δ est une mesure de concordance si elle possède les propriétés suivantes :  ; (P5) Si f est strictement monotone, ( ) ( ) ( ) ( )      ↓ − ↑ = . si δ si δ δ 2 1 2 1 2 1 f X X f X X X X f , , , Ainsi une mesure de dépendance δ qui a la propriété ( ) 2 1 2 1 0 δ X et X X X ⇔ = , indépendantes n’est pas une mesure de concordance. En effet si l’on considère le couple ( ) ( ) 1 2 , cos ,sin loi X X Z Z = où [ ] ~ 0;2π Z U . Puisque ( ) ( ) 2 1 2 1 X X X X loi , , − = , on a : Modélisations avancées en assurance  X , , − = . Par ailleurs x x f − : est strictement décroissante doncalors que X1 et X2 ne sont pas indépendantes. En revanche, nous verrons que la plupart des mesures de dépendance utilisées en pratique vérifient la propriété : 2 1 X et X indépendantes ( ) 0 δ 2 1 = ⇒ X X, .

Coefficient de corrélation de Pearson

Le coefficient de corrélation de Pearson, également appelé coefficient de corrélation linéaire, est la première mesure de dépendance à avoir été utilisée. Il repose sur la propriété suivante : Var Var Var 2Cov , X X X X X X + = + + . La covariance mesure donc le surcroît de variabilité (éventuellement négatif) de la somme de deux variables aléatoires par rapport à la somme de la variabilité de chacune de ces variables aléatoires.

La covariance permet donc d’apprécier le sens de la covariation de deux variables aléatoires. Le coefficient de corrélation de Pearson en est une version normée sans dimension. Soit deux variables aléatoires X1 et X2 admettant des moments jusqu’à l’ordre 2. Le coefficient de corrélation de Pearson entre X1 et X2 que l’on notera ( ) 2 1X X r , est défini par ( ) [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 Cov , , Var Var X X r X X X X = . Plus le coefficient de corrélation de Pearson sera grand en valeur absolue, plus la dépendance entre les variables aléatoires sera forte. Par ailleurs, quelles que soient les variables aléatoires X1 et X2 admettant des moments jusqu’à l’ordre 2, on a toujours ( ) 1 1 2 1 ≤ ≤ − X X 

Notons que considérant deux variables aléatoires X1 et X2 de fonction de répartition F1 et F2, il n’est pas toujours possible de trouver une distribution jointe telle que les bornes de l’inégalité soient atteintes. Propriétés : Le coefficient de corrélation possède les deux propriétés suivantes : − ( ) 1 2 2 1 1 bX a X X X r loi + = ⇔ = , avec 0 ≠ b . De plus le signe de r est identique au signe de b. − 2 1 X et X indépendantes ( ) 0 2 1 = ⇒ X X r , . La réciproque est fausse. La démonstration de la première propriété est triviale. Pour la deuxième, il suffit de considérer ( ) ~ 0;1 X N . X est symétrique donc [ ] 3 E 0 X = . Posons 2 X Y= , [ ] E 0 XY = , donc ( ) 0 = Y X r , alors que X et Y ne sont pas indépendants.