Prise en compte des non linéarités

Prise en compte des non linéarités

 Perméabilité et rigidité non constantes

Il semble qu’une majorité des problèmes de consolidation traités dans la littérature se limitent à un comportement linéaire du milieu poreux. En réalité, dans la plupart des situations rencontrées en géomécanique,le comportement sol peut devenir fortement non linéaire[Kon63, Lew98, Dor02, Mer02]. Nous allons nous intéresser ici à la prise en compte des non linéarités dans la stratégie LATIN.

Pour montrer la faisabilité de la méthode, nous ne considérerons dans un premier temps que des non linéarités simples, comme le comportement élastique non linéaire du squelette et la perméabilité non constante du milieu. La prise en compte de non linéarités plus fortes, comme la plasticité, ou avec la présence de variables internes, nécessiterait certainement un traitement particulier. 1.1 Perméabilité Tout au long de ce travail, nous avons considéré la loi de Darcy sous la forme: W = K w Z 122

Prise en compte des nonlinéarités où K était la perméabilité du matériau supposée constante et w la viscosité dynamique fluide saturant.D’après [Lew98, Mer02], cette loi peut en fait être écrite plus précisément : W=kw Z où kr est la perméabilité relative, fonction du degré de saturation(égale à 1 dans le cas de saturation totale)et la perméabilité intrinsèque du matériau(supposé isotrope). Expérimentalement, on constate que la perméabilité intrinsèque n’est pas constante mais dépenddel’indice des vides e définipar : e = Vv Vs oùVv estlevolumedesvides(entièrementremplisdanslecasdelasaturationtotale)et

Vs levolumedusquelettedansunvolumeélémentairereprésentatifdumilieu.L’indice e peutêtre expriméenfonction delaporosité n du matériau: n= Vv Vs +Vv par la relation : e = n 1−n [Mer02] propose de relier la perméabilité intrinsèque k à l’indice des vides e par uneloi dutype : k =k0 e e0 où une première approximation de l’évolution de e en fonction des déformations  » peut être construite dans le cas unidimensionnel en supposant le squelette indéfor mable: e ≃e0+(1+e0)Tr » Nous allons utiliser ici une modification de cette loi en supposant que la perméabilité intrinsèque est reliée à la déformation par : k =k0 n0 1+n0 1+ 1 n0 Tr »−Tr »0 −Tr »0 α + (6.1) où 〈〉+ désigne la partie positive,

k0 et n0 la perméabilité et la porosité du milieu non déformé, « 0 la déformation au dessous de laquelle la perméabilité ne peut plus di minuer (typiquement Tr »0 = −n0) et α un paramètre dépendant du matériau (cf. Figure 6.1). Dans le cas de la saturation totale, la loi de Darcy s’écrit donc sous la forme: W=H(« )Z où H(« )= k(« ) w I et le problème que l’on cherche à résoudre est non linéaire. MéthodeLATINpourlenonlinéaire 123 k k0 Tr »0 Tr » Figure 6.1 • Évolution de la perméabilité intrinsèque avec la déformation volumique 1.2 Rigidité De Même Manière,nous avons jusqu’à présent considéré la loi de Hooke : f f=D »−bpI où

Était le tenseur de Hooke, supposé constant, et b le coefficient de Biot. [Lew 98] propose de réécrire cette loi sous la forme plus précise suivante : f f=D(« ) »−bpI où le tenseur de Hooke est maintenant une fonction des déformations. [Kon 63] propose une approximation de la courbe contraintes-déformations pour le sable et les argiles : σ1−σ3= −ε1 A+B(−ε1) (6.2) qui relie la différence entre σ1, la plus grande des contraintes principales,et σ3, la plus petite, àε1, la plus grande des déformations principales(cf.Figure 6.2).

Les Paramètres A et B sont des constantes matériaux qui peuvent être déterminées à partir d’essais triaxiaux conventionnels (confinement sous σ2 = σ3 constantes). Comme le modèle de Kodner n’est valable que dans le cas unidimensionnel, les tests numériques qui suivront se placeront dans ce cas de figure. Pour une extension tridimensionnelle du modèle, on pourra référer à [Dor02]