Sous-groupes alternés des groupes de Coxeter

Organisation du chapitre

Dans la Section IV.2, nous obtenons la présentation, avec les générateurs reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter, du sous-groupe alterné G+ pour un système de Coxeter (G, S). Nous traitons tout d’abord les systèmes de Coxeter irréductibles. Ensuite nous généralisons la présentation aux systèmes de Coxeter arbitraires, en introduisant une extension connexe du graphe de Coxeter. La Section IV.3 est consacrée à la présentation, avec les générateurs reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter, de G˜+ pour un système de Coxeter arbitraire (G, S). Il est possible de donner les présentations – avec les générateurs reliés aux arêtes du graphe de Coxeter – pour toutes les extensions centrales des sous-groupes alternés des groupes de Coxeter finis. Nous l’illustrons sur deux exemples : A + 5 et A + 6 .
Dans la Section IV.4, nous donnons la définition de la sous-algèbre alternée H+(G) de l’algèbre de Hecke, comme la sous-algèbre des éléments de degré pair pour une certaine graduation de H(G).
La présentation à la Bourbaki de H+(G) et la présentation de H+(G) avec les générateurs reliés aux arêtes du graphe de Coxeter sont prouvées. Dans l’Appendice à la Section IV.4, nous obtenons une relation de récurrence et la fonction génératrice pour les coefficients apparaissant dans les relations définissantes des sous-algèbres alternées des algèbres de Hecke. Pour le cas à un paramètre, nous rappelons une formule simple pour ces coefficients en termes de coefficients binomiaux.
Dans la Section IV.5, nous donnons les analogues, pour les sous-groupes alternés B +(G) des groupes de tresses, des deux présentations de la sous-algèbre alternée de l’algèbre de Hecke.
Dans la Section IV.6, nous présentons les résultats de l’algorithme de Coxeter–Todd pour trois présentations – la présentation à la Bourbaki, notre présentation qui fait référence aux arêtes et la présentation à la Carmichael – des sous-groupes alternés de type A, B et D.

Présentation dans le cas irréductible

Dans cette Sous-Section, nous supposons que le système de Coxeter (G, S) est irréductible (c’està-dire, le graphe de Coxeter G est connexe). Nous donnons une présentation de G+ en termes de générateurs correspondant aux arêtes orientées du graphe de Coxeter ; aucun sommet du graphe n’est distingué. Dans la prochaine Sous-Section, cette présentation sera généralisée aux systèmes de Coxeter arbitraires. La présentation utilise une orientation – choisie arbitrairement – des arêtes du graphe de Coxeter.
Concrètement, si il existe une arête entre i et j avec i < j, nous décidons de l’orienter de i vers j. Nous associons un générateur rij à chaque arête orientée, c’est-à-dire, à chaque paire (i, j), i, j = 0, . . . , n−1, telle que i < j et mij Ó= 2. Pour un générateur rij , nous notons rji l’inverse, rji := r −1 ij . Définition IV.1 Deux arêtes (ij) et (lm) de G sont dites non-connectées si {i, j} ∩ {l, m} = ∅ et s’il n’existe pas d’arête connectant un sommet parmi {i, j} avec un sommet parmi {l, m}.

Présentation dans le cas général

Maintenant, supposons que le graphe de Coxeter G n’est pas connexe. Nous ajoutons certaines arêtes labellisées par 2 pour rendre le graphe connexe. Plus précisément, soit G = G1 ⊔ G2 ⊔ · · · ⊔ Gm une décomposition de G en union disjointe de ses composantes connexes. Pour a = 1, . . . , m, choisissons un sommet ia de Ga ; alors, pour tout l = 1, . . . , m−1, nous ajoutons une arête entre il et il+1, et nous la labellisons par 2. Les arêtes labellisées par 2 seront représentées par des lignes en pointillés. Nous appelons le graphe obtenu une extension connexe de G. Une extension connexe n’est pas unique. Fixons une extension connexe G c de G, et associons un générateur rij , i < j, à chaque arête orientée de G c . Nous étendons la Définition IV.1 au graphe G c . Définition IV.3 Deux arêtes (ij) et (lm) de G c sont dites non-connectées si {i, j} ∩ {l, m} = ∅ et s’il n’existe pas d’arête (dans G c ) connectant un sommet parmi {i, j} avec un sommet parmi {l, m}.
Remarque. Notons G+(G) le groupe alterné correspondant au graphe G. En utilisant l’isomorphisme (IV.2.15), il est immédiat que les générateurs rij et rkl commutent si les arêtes (ij) et (kl) appartiennent à des composantes connexes différentes de G. Soit, comme ci-dessus, G = G1⊔G2⊔· · ·⊔Gm ; les groupes G+(Ga), a = 1, . . . , m, sont naturellement des sous-groupes de G+(G). Les arêtes labellisées par 2 forment un chemin dans G c , et on peut vérifier (avec l’isomorphisme (IV.2.15)) que les générateurs rst correspondant à ces arêtes de G c engendrent un sous-groupe Y isomorphe à C m−1 2 , où C2 est le groupe cyclique à deux éléments. De même, on peut vérifier que chaque G+(Ga), a = 1, . . . , m, est stable par conjugaison par les éléments de Y. Ainsi, chaque G+(Ga), a = 1, . . . , m, est normal dans G+(G); et G+(G) est isomorphe au produit semi direct ! G+(G1) × G+(G2) × · · · × G+(Gm)  » ⋊ Y.

Chaînes des sous-groupes alternés de type A

Nous écrivons explicitement la présentation de la Proposition IV.2 pour les sous-groupes alternés de type A. Le groupe de Coxeter An est isomorphe au groupe de permutations d’un ensemble à n + 1 éléments (le groupe symétrique), et le sous-groupe alterné A+ n est isomorphe au sous-groupe des permutations paires. Nous utilisons la notation pour les générateurs expliquée par la figure suivante (rappelons que le sommet i correspond au générateur si du groupe de Coxeter, et qu’un générateur du groupe alterné est associé à chaque arête orientée une fois qu’une orientation est choisie ; nous avons posé ri := ri−1,i pour i = 1, . . . , n − 1) :
L’isomorphisme avec le groupe des permutations paires d’un ensemble à n + 1 éléments est établi par ri Ô→ (i, i+1, i+2), où (i, i+1, i+2) est la permutation cyclique de i, i+1 et i+2. Dans la Section IV.6, nous donnons une preuve différente, basée sur l’algorithme de Coxeter–Todd, de cette présentation de A+ n . Nous vérifions également que cette présentation donne une présentation de la chaîne des groupes A+ n au sens du Chapitre I, Section I.1.
Les multiplicateurs de Schur pour les sous-groupes alternés de type A ont été calculés dans [94] ; Dans [70], cela a été généralisé aux sous-groupes alternés des groupes de Coxeter finis, et une présentation a été donnée, dans l’esprit de (IV.2.2), des extensions centrales correspondantes. Il est direct – mais un peu long – de transformer cette présentation (pour toutes les extensions centrales de tous les groupes de Coxeter finis) en une présentation qui utilise les générateurs reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Comme exemple nous donnons, sans aucun détail, les présentations pour le type A. Le multiplicateur de Schur pour A+ n est C2 si n > 3, n Ó= 5, 6, et C2 × C3 si n = 5, 6 ; ici Cm est le groupe cyclique à m éléments. Nous décrivons les extensions centrales de A + 5 et A + 6 avec le noyau C2 × C3 ; ces extensions sont des extensions centrales universelles car les groupes A + 5 et A + 6 sont parfaits (voir Remarque ci-dessous). Comme ci-dessus, nous associons un générateur r˜i , i = 1, . . . , n − 1, à chaque arête orientée du graphe de Coxeter, voir la Figure IV.9.

Présentation utilisant les arêtes du graphe de Coxeter

Fixons une extension connexe G c du graphe de Coxeter G, comme définie dans la Section IV.2. Nous rappelons la présentation du groupe G+ qui utilise les arêtes du graphe G c , voir Section IV.2. Le groupe G+ est isomorphe au groupe engendré par les éléments rij , définis dans la Section IV.2,avec les relations définissantes.

Présentation utilisant les arêtes du graphe de Coxeter

Le groupe B +(G) admet une présentation similaire aux présentations du groupe G+ et de l’algèbre H+(G), voir (IV.4.11) et Proposition IV.10. Associons, comme dans les Sections IV.2 et IV.4, un générateur rij à chaque arête orientée (une arête est orientée de i vers j si i < j) du graphe G c . Posons rji := r −1 ij pour tout générateur rij . Proposition IV.13. Pour un système de Coxeter (G, S) avec la matrice de Coxeter m, le sousgroupe alterné B +(G) du groupe de tresses est isomorphe au groupe engendré par les éléments rij et t0, . . . ,tn−1 avec les relations définissantes