Réseaux de Petri Stochastiques

Réseaux de Petri

Un réseau de Petri est un ensemble de places et de transitions reliées par des arcs orientés. Les places peuvent contenir des jetons, et la répartition des jetons dans les dierentes places dénit le marquage du réseau. Le franchissement d’une transition n’est possible que si chaque place en entrée contient au moins le nombre de jetons indiqué par la valeur de l’arc liant la place à la transition. Le franchissement de la transition provoque le retrait de ce nombre de jetons et la production, dans chaque place en sortie, du nombre de jetons indiqué par l’arc liant la transition à la place.

Réseaux de Petri Stochastiques

Un réseau de petri stochastique est un réseau de petri dans lequel on a associé aux transitions une durée de franchissement distribuée suivant une loi exponentielle.
SP N = (P, T, P re, P ost, m ´ 0, W) où W = {w1, w2, …, wm} est l’ensemble des délais de tir de toutes les transitions, et P, T, P re, P ost, m ´ 0 sont les mêmes composants dénis dans les réseaux de Petri ordinaires. Une propriété importante pour le SPN est que : Le graphe des marquages accessibles d’un SPN est isomorphe à une chaîne de Markov (CTMC). Par conséquent, les résultats connus sur les chaînes de Markov sont réutilisables dans ce contexte, et certaines propriétés de la chaîne correspondent directement à des propriétés du réseau de petri.

Indices de performance

Le calcul des indices de performance est basé sur la notion de fonctions de récompense et sur le vecteur π des probabilités à l’état stationnaire. Chaque indice de performance peut être exprimé en terme de moyenne d’une de ces fonctions à l’état stationnaire. La récompense moyenne R est calculée par la formule.

Réseaux de Petri Stochastiques Généralisés

Un réseau de Petri stochastique généralisé est un réseau de Petri stochastique où on a deux types de transitions, des transitions temporisées et des transitions immédiates. Un GSPN est déni par un (P, T, P re, P ost, m, W ´ ) où wi est :
Un délai de tir si ti est temporisée
Un poids de franchissement si ti est immédiate
Dans ce nouveau modèle [10], les marquages se décomposent en deux catégories : les marquages tangibles dans lesquels aucune transition immédiate n’est franchissable et les marquages évanescents. Du fait de l’existence de transitions immédiates et de transitions temporisées, une règle de choix s’impose si plusieurs transitions quelconques sont simultanément franchissables, soit H l’ensemble des transitions franchissables [3],
si H comprend des transitions temporisées seulement, le choix de la transition ti à franchir est déni par les probabilités,
Si H contient zéro ou plusieurs transitions temporisées et une seule transition immédiate, alors cette dernière est franchie,
si H comprend plusieurs transitions immédiates, alors on associe un poids (probabilité) à chaque transition pour le choix de celle qui doit être franchie ; l’ensemble H et ces probabilités dénissent ce qu’on appelle random switch. Pour analyser ces réseaux, on applique l’analyse des processus semi-markoviens. On considère le processus comme un processus de Markov régénératif dont les états de régénération sont les marquages tangibles (voir [3, 10]). Les indices de performance se calculent de la même façon que dans les réseaux de Petri stochastiques (1.2.2, page 7) à la diérence près qu’ici, l’espace des états E est réduit à l’ensemble des marquages tangibles accessibles.