Les paramètres des modèles Γ-GQM et DG

Les paramètres des modèles Γ-GQM et DG

Dans le chapitre précédent, une étude exhaustive de la modélisation du TIV a été réalisée. Différentes approches et différents modèles probabilistes ont été approfondis. Une des conclusions essentielles est que le TIV peut être bien modélisé dans toutes les conditionsréellement rencontrées par l’utilisation des modèles complexes, notamment le modèle ΓGQM et le modèle DG. Une première question est de comprendre comment les paramètresde ces modèles s’adaptent aux changements de la distribution des TIV. Cette question esttout d’abord traitée par l’étude des paramètres des modèles eux-mêmes avant d’apprécierla flexibilité et l’ajustement les modèles en fonction des données extérieures. Ce chapitre est donc consacré à l’étude de la sensibilité des paramètres des deux modèles sélectionnés, – les plus pratiques -, les modèles Γ-GQM et DG

Paramètre de décalage τ

En général, l’intervention d’un paramètre de décalage τ améliore l’ajustement d’un modèleprobabiliste aux données réelles. C’est aussi le cas pour le modèle Γ-GQM. Pourtant, ce paramètre n’a pas de sens physique, dépend plutôt des TIV minima résultant de la précision de la méthode de mesure. D’autant plus que le TIV peut théoriquement prendre n’importe quelle valeur aussi petite qu’elle soit, le cas extrême étant une collision où le TIV est nul.
Les données ont montré aussi que sans le paramètre τ , l’ajustement est encore très bon.
La Figure 3.1 représente la qualité du modèle Γ-GQM dans des cas où l’ajustement est très bon sans utilisation du paramètre de décalage τ .
Un autre raison de ne pas utiliser le paramètre τ est qu’il modifierait considérablement les valeursdes autres paramètres. En effet, on remarque que les dérivées de la fonction dedensité df /dh au TIV minimum sont différentes et entraînent des valeurs des paramètres (notamment les α et β) largement différentes. En conséquence, si l’on considère que τ n’a pas de sens physique, il ne faut absolument pas l’utiliser puisqu’il altère les autres paramètres qui pourraient avoir des explications plus « physique » dans le modèle.
Lorsque les autres paramètres α, β, λ sont donnés, la moyenne et l’écart-type diminuent lorsque le paramètre θ croît. Le CV diminue légèrement en fonction du paramètre θ (cf. laFigure 3.3). La Figure 3.3 montre aussi que les coefficients de symétrie et d’aplatissementdu modèle Γ-GQM sont sensibles pour les valeurs de θ grandes, disons supérieures à 0,8.

Le paramètre λ du modèle Γ-GQM

Dans le cas où λ = 0, la fonction de densité dégénère en une partie d’une loi Gamma.
Dans le cas α = 1 dans la Figure 3.4, le modèle Γ-GQM ne donne pas de valeurs réelles car λ = 1 =α. On obtient que lorsque λ croît, les fréquences des TIV courts augmentent et les courbes de la fonction de répartition sont en ordre et ne se croisent pas. À la différence 140 CHAPITRE 3: LES PARAMÈTRES DES MODÈLES Γ-GQM ET DG du paramètre θ, les écarts entre les courbes de la fonction de répartition lorsque λ varie, sont petits pour les TIV courts, disons inférieurs à 2 s.

Influence des paramètres du modèle DG

Le paramètre θ du modèle DG

La Figure 3.10 illustre l’effet de la variation du paramètre θ sur la forme de la distribution du modèleDG en fixant les autres paramètres. Les courbes de la fonction derépartition ne se croisent pas et sont en ordre quand θ croît. Les écarts entre les courbes cumulatives sont petits pour les TIV grands, disons supérieurs à 10 s. Les écarts entre les courbes extrêmes de θ = 0 et θ = 1 dépendent fortement des valeurs des autres paramètres.
La Figure 3.11 présente les variations des moments du modèle DG en fonction du paramètre θ. On observe que la moyenne augmente linéairement, et la variance des TIV croît en fonction du paramètre θ. Néanmoins, le CV est stable pour les θ supérieurs à 0,5.Aussi, dans les cas où θ est supérieur à 0,5, les coefficients de symétrie S3 et d’aplatissementK4 sont faibles. Les coefficients S3 et K4 sont maximaux pour θ autour de 0,05.

La méthode du Bootstrap

Les estimations des deux modèles Γ-GQM et DG sont réalisées par la méthode du maximum de vraisemblance (MV) dans cette étude. En conséquence, l’information de Fisherdes deux modèles semble nécessaire pour mesurer la sensibilité des modèles à la variationdes paramètres obtenus dans la phase de calibrage.Soit un modèle statistique P := fH (h | θ ∈ Θ), avec la fonction de vraisemblanceL(θ, h). La méthode MV consiste à maximiser la fonction L(θ, h) associée aux observations H. Cette estimation est équivalente à minimiser la fonction opposée de la log-vraisemblance`(θ, h).Dans le cas où θ est un vecteur comme c’est le cas pour les modèles étudiés, c.à.d Θ estun ouvertdans l’espace R1×d
, l’information de Fisher est représentée par une matrice de covariance de taille d × d. Comme le domaine de définition de H = (H1, H2, . . . , Hn) ∈ X n ne dépend pas de θ, et que les fonctions f étudiées satisfont la condition de régularité, on a :
– Ce sont les paramètres α et θ qui varient le plus tant au sens de l’écart-type que au sens du coefficient de variation (CV).
– En général, les paramètres du modèle DG varient beaucoup moins que ceux du modèle Γ-GQM. Dans ce modèle, le paramètre β1 semble être le paramètre le plus sensible. Les Figures3.16 et 3.17 montrent les répartitions des valeurs des paramètres dans B échantillons. L’exemple est pris à partir de l’échantillon N°5. On constate que :
– Les distributions des paramètres obtenus par la méthode du bootstrap sont proches des lois normales ce qui pourrait faciliter le calcul de l’intervalle de confiance des paramètres
– L’échelle du paramètre α1 est différente de celles des paramètres α2, β1 et β2.

Conclusions du chapitre

Dans ce chapitre, l’emploi d’un paramètre de décalage est déconseillé car il modifie les valeurs des autres paramètres des modèles dont certains sont liés à des caractéristiquesphysiques du trafic. La variabilité des distributions des modèles Γ-GQM et DG est réaliséeen fonction de leurs paramètres. Les caractéristiques statistiques sont aussi tracées selon les valeurs des paramètres des modèles. La sensibilité des modèles est obtenue par l’analysede Bootstrap. Certains paramètres sont beaucoup plus sensibles que les autres au sein d’un même modèle probabiliste.