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Les dimensionnements des structures suscitaient depuis longtemps, une profonde réflexion pour les ingénieurs et chercheurs scientifiques. Datée de l’époque de Galilée, la science du dimensionnement, connue sous le nom usuel de la «Résistance Des Matériaux ou R.D.M », était la base théorique pour analyser le comportement structural des constructions, en génie civil. Face aux exigences plus strictes en termes de sécurité, économie et esthétique des ouvrages, la complexité des calculs à effectuer s’avère de plus en plus persistante. A cet égard, les hypothèses émises par la R.D.M ne couvrent qu’une certaine partie de la réalité, et la résolution tend à revenir vers la théorie générale de la Mécanique des Milieux Continus. Regrettablement, les méthodes analytiques découlant de cette dernière, conduisent à des longs calculs fastidieux, dont très peu de cas aboutissent à des solutions cohérentes.
Récemment, l’avènement des ordinateurs marque une grande tournure aux recherches scientifiques. En conséquence, la tendance en calcul des structures, s’oriente vers l’usage des méthodes plus avancées, notamment les méthodes numériques, afin de permettre l’automatisation des tâches d’opération. Particulièrement, la méthode des éléments finis, avec un schéma de résolution numérique introduisant fortement l’utilisation pratique des calculs matriciels, attire actuellement l’attention des ingénieurs, en raison de l’économie du temps de calcul et surtout la précision des résultats obtenus. Non seulement, elle présente une grande souplesse vis-à-vis de la programmation informatique, mais elle aborde ostensiblement une large diversité de situation.
MODELISATION MECANIQUE
Approche en ingénierie civile
Pour assurer la stabilité et l’intégrité d’une construction, une importance particulière s’avère nécessaire sur l’étude du comportement mécanique de ses éléments structuraux. A part la sécurité des usagers, un sens d’optimisation économique y sera strictement mis en jeu. Il est essentiel de noter que physiquement, ces éléments s’identifient à des objets macroscopiques massifs et rigides, pourvus d’une ferme cohésion, ayant des propriétés bien définies. En effet, l’étude se limitera dans le cadre des solides. D’une part, une approche théorique est destinée à l’élaboration d’un schéma de résolution concrète en vue d’expliciter les solutions caractéristiques du problème, et d’autre part, une étude expérimentale permet d’analyser le cas réel et d’évaluer la précision des résultats théoriques.
Résoudre un problème mécanique de structure consiste à trouver à l’instant final son état d’équilibre, en occurrence son :
– état de déplacement ;
– état de sollicitation ;
– état de déformation ;
– état de contrainte.
En d’autres termes, il s’agit de prédire, par des conjectures, le comportement mécanique de la structure tant à l’issu des forces extérieures y agissantes, qu’à toutes circonstances susceptibles d’engendrer des efforts internes au système (condition aux limites, effet de température…).
Jusqu’à présent, il est absolument délicat d’avancer, d’une façon formelle, une méthode théorique permettant de résoudre tous les problèmes mécaniques existants dans le monde de l’ingénierie civile. Pour contourner cette faille, une idée de simplification par rapport au système réel étudié doit être envisagée de telle sorte que l’on puisse imaginer un schéma de calcul conduisant à des résultats concrets. En émettant diverses hypothèses en adéquation avec le système réel, cette idée traduit une forme de formalisation du problème, autrement dit, de procéder à des traitements particuliers afin de donner une description et explication du phénomène par des règles formelles explicites.
L’ensemble de tous ces concepts constitue la « modélisation du système ».
En tout, il s’agit de créer une représentation standard du phénomène mécanique dans le but de prévoir son évolution. En terme courant, la configuration simplifiée ainsi créée est appelée « modèle ».
La modélisation concerne presque toutes les démarches de la résolution en mécanique. Elle touche toutes les hypothèses susceptibles de simplifier autant que possible le cas réel depuis l’aspect physique ou géométrique de la structure elle-même, jusqu’à la méthode de calcul choisie pour aboutir aux résultats.
Démarche de la modélisation mécanique en vue d’une simulation informatique
Actuellement, le traitement des problèmes s’oriente vers l’utilisation des outils informatiques. Ainsi, en vue d’une exploitation efficiente et efficace, le but de la modélisation mécanique est souvent de réaliser une simulation informatique du phénomène.
En effet, la démarche à suivre consiste à créer un modèle physique reflétant le cas réel, afin d’aboutir à un modèle informatique exploitable par les ingénieurs.
Pour ce faire, le concept se fonde sur les quatre étapes ci-après :
– la modélisation physique ;
– la modélisation mathématique ;
– la modélisation numérique ;
– la modélisation informatique ;
La modélisation physique
Il s’agit de créer un modèle répondant aux caractéristiques géométriques et aux propriétés physiques du corps à étudier, sans oublier les sollicitations et conditions aux limites qui lui sont éventuellement appliquées. En quelque sorte, l’objet de la modélisation physique consiste à reconstruire une simplification de l’état naturel initial ou état de départ de l’étude du phénomène.
Pour qu’un modèle physique traduise avec précision l’état initial d’un phénomène, il doit satisfaire quelques critères de base lors de sa création.
Essentiellement, le modèle physique conçu doit:
– géométriquement, présenter une forme simple qui épouse autant que possible la forme du solide (initial) réel à étudier. Les premiers détails à souligner portent principalement sur des caractéristiques telles que la longueur, la largeur et l’épaisseur. La forme intérieure générale (surface courbe,…) doit être représentable par des équations mathématiques implicites (équations paramétriques) ;
– physiquement, renfermer les propriétés physiques du solide initial. On suppose qu’elles seront indiquées par des variables caractérisant la nature et le comportement du matériau constituant l’objet à étudier. Les caractéristiques les plus courantes sont le module d’Young (E), le coefficient de poisson (ν) et la masse volumique (ρ) du matériau. Leurs déterminations s’effectuent à l’aide des essais mécaniques ;
– préciser la nature (ponctuelle, surfacique ou volumique) et l’emplacement des sollicitations extérieures ;
– définir les conditions aux limites éventuelles des bords, par exemple, la nature des appuis au système (appuis simples, articulations, encastrements,…). Les autres éventualités telles que les déplacements initiaux imposés peuvent être également considérés parmi les conditions aux limites du système.
La modélisation mathématique
Il s’agit d’une mise en équation mathématique du problème à étudier. La modélisation mathématique consiste à créer des équations mathématiques abstraites, fondées sur des hypothèses d’origine axiomatique, régissant le phénomène physique. En majorité, les problèmes mécaniques conduisent à des équations écrites sous une forme de système d’équations aux dérivées partielles.
La modélisation numérique
Les modèles mathématiques n’impliquent pas toujours des solutions. Qui plus est, la résolution des équations différentielles issues des formulations variationnelles est loin d’être évidente. Face à cette difficulté, un schéma de résolution par approximation doit être adopté. Il s’agit de transformer le problème mathématique défini sur le milieu continu (équations différentielles ou intégrales), par un problème mathématique discret (équations matricielles), écrit dans une dimension finie et que l’on pourrait résoudre numériquement.
Cette étape constitue la discrétisation des équations et dégage le modèle numérique associé.
La construction de ce modèle repose sur le choix de la méthode de discrétisation et des résolutions numériques correspondantes. Il est possible que la démarche adoptée nécessite des intégrations numériques dont le principe est de substituer la somme continue, en une somme discrète suivant une démarche précise, notamment d’une façon explicite ou implicite selon le cas (1ère ordre ou 2nd ordre).
L’étape de la modélisation numérique est l’objet principal de notre travail.
La modélisation informatique
Rappelons que l’objectif est d’utiliser des outils informatiques pour traiter les problèmes mécaniques, bref, une simulation numérique.
La modélisation informatique consiste à créer un algorithme ou un programme permettant d’automatiser toute la résolution sur ordinateur. Elle est caractérisée par l’unification des différentes étapes précédentes en vue d’une utilisation courante. Dans la mesure où la création du modèle informatique n’est pas possible, il y a lieu de remettre en question la conception des autres modèles précédents.
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