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La théorie des opérateurs fait penser à l’étude des Applications Linéaire sur un espace vectoriel (normé), et on en parle beaucoup au sein de l’Analyse Vectorielle. Un cas particulier que nous allons développer dans cet exposé, est les opérateurs de Hankel sur l’espace de Bergman.
En premier lieu ; nous introduisons la notion du disque de Bergman, et la distance de Bergman ;les propriétés des espaces BMO (espace des fonctions à oscillations moyennes bornées) et son sous-espace VMO, qui ont respectivement deus sous espaces BO, BA et VO, VA. Avec VO est un sousespace de BO, et VA est un sous espace de BA (muni de leurs normes respectives).
BMO DANS LA METRIQUE DE BERGMAN
Définitions
Pour f une fonction continue sur D, on définit la fonction suivante sur D :
ωr(f)(z) = Sup{ f(u)− f(v) ,ω є D(z,r) ‹═›β(z,ω) < r},appelée oscillation de f dans la métrique de Bergman.
On dit que f admet une oscillation dans la métrique de Bergman si ωr(f) est bornée dans D.
On note BOr l’espace de fonctions continues sur D à oscillation bornées. BOr est un espace complet, muni de la semi-norme ║f║BOr= Supz є D ωr(f)(z) .
Preuve
Soit {fn}n une suite de Cauchy dans BOr, alors fn converge vers une certaine fonction f є C(D) quand n tend vers +∞ , c’est à dire ,étant donné ε > 0, il existe N un entier positif, tel que : | fn-f | ≤ ε .
Soient alors ε > 0 et N un entier positif tels que : pour tous z єD et p ≥ q ≥ N (p, q des entiers positifs), on a : Sup z єD ωr(fp-fq)(z) ≤ ε .
Alors Supz єD {Sup{ (fp-fq)(z) – (fp-fq)(ω) ; β(z,ω) < r}}≤ ε ,
Donc Supz єD {Supω єD(z,r){ (fp-fq)(z) – (fp-fq)(ω) ; β(z,ω) < r}}≤ ε
Pour q tend vers +∞ dans l’inégalité ci-dessus on a :
Supz єD {Supω єD(z,r){ (fp-f)(z) – (fp-f)(ω) ; β(z,ω) < r}}≤ ε .
pour tout p ≥ N (car fq tend vers f quand q tend vers +∞ ) et cela implique que Sup z єD ωr(fp-f)(z) = ║fp -f║BOr ≤ ε pour tout p ≥ N.
donc fn converge vers f dans BOr.
Par suite, BOr est complet.
Le résultat suivant montre que BOr est indépendant du choix de r, et toutes semi-normes ║ ║BOr sont équivalentes.
Lemme
Pour tous r et s des réels positifs, il existe une constante C > 0 tel que :
C⁻¹ ║f ║BOr ≤ ║f ║BOs ≤ C║ f║BOr , pour toute f є C(D) .
Preuve
On suppose que r < s.
On peut vérifier facilement que ║f ║BOr ≤ ║f ║Bos pour toute f continue sur D.
vérifier facilement que ║f ║BOr ≤ ║f ║Bos pour toute f continue sur D. Soit N un entier positif, tel que pour tout z є D(0,s), il existe :
0 = z0,z1,…zN avec β(zi-1,zi) < r , (1 ≤ i ≤ N ).
Et si β(z,ω) < s qui est Möbius invariant, il existe z = z0,z1,…zN = ω tel que : β(zi-1,zi) < r pour tout 1 ≤ i ≤ N.
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