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METHODE DE CARACTERISATION DES ISOLANTS THERMIQUES CYLINDRIQUES PAR PHENOMENE TRANSITIORE
Le champ thermique en régime transitoire dans un cylindre droit court est t rès difficile à déterminer analytiquement si on utilise un modèle tridimensionnel. Pour faciliter sa résolution, nous allons nous appuyer sur la méthode de séparation des variables et en appliquant le théorème de Von Neumann [.]. Ce théorème stipule que si les conditions initiales et les conditions aux limites écrites sous forme réduite sont les mêmes alors la solution pour le cylindre droit court est égale au produit de la solution calculée pour le cylindre infini par la solution calculée pour la plaque infinie. La résolution du problème bidimensionnel (tridimensionnel avec symétrie) est donc ramenée à la résolution de deux problèmes à une dimension. Figure 2.1-Cylindre court : intersection d’une plaque infinie et d’un cylindre infini
Champ thermique en régime variable dans une plaque infinie
On considère une plaque d’épaisseur 2e initialement à la température uniforme T0 en contact avec une plaque en métal de température Tf à la surface supérieure de la plaque et une autre en plastique à la température Tp à la surface inférieure, les deux températures dépendnt du temps. La surface de la plaque étant grande par rapport à son épaisseur, le champ thermique peut être considéré comme unidimensionnel. Le contact de la plaque avec les deux solides est caractérisé par les cœfficients d’échange thermiques hf et p h . Figure 2.2 : Plaque infinie L’équation de la chaleur s’écrit : On a les conditions suivantes : – Condition initiale : ( ) 0, = TxT 0 – Conditions aux limites: *A la surface métal-plaque*A la surface Plaque-Plastique
Nous remarquons que les conditions aux limites sont des fonctions du temps. Donc pour la résolution de l’équation (II-1), nous appliquons le théorème de DUHAMEL [14.] Méthode de caractérisation des isolants thermiques par phénomène transitoire Mémoire de DEA présenté par Cheikh Tidiane SARR, FST- UCAD 20 II-2-1 Application du théorème de DUHAMEL Soit ( ) 1 Θ ,, ttx la solution auxiliaire de l’équation (II-1) munie des conditions aux limites (II-2) et (II-3). (II-6) Notons que Tf et Tp ne dépendent plus du temps t mais plutôt du paramètre 1t (ce dernier n’étant pas une variable temps).
Le théorème de DUHAMEL conduit à la solution de l’équation (II-1) à partir de la solution auxiliaire ( ) 1 ,, ttx Θi à l’aide de l’intégrale : ( ) ∫ [ ( ) −Θ ] ∂ ∂ = = t t i dttttx t txT 0 111 1 , .,, (II-7) On note dans les conditions aux limites l’existence de terme constant indépendant de la variable temps t .Pour simplifier la résolution de l’équation (II-4), nous allons le ramener à une équation différentielle sous la forme réduite. -Variable réduite d’espace : e x u = (II-8) -Variable réduite de température : tT est la température initiale de la plaque dépendant de 1t – 1 τ est la variable réduite correspondant à 1t En remplaçant (II-8) et (II-9) dans les équations (II-4), (II-5) et (II-6), nous obtenons l’équation adimensionnelle de la conduction de la chaleur dans la plaque
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