Contrat a livret et contrat a terme

CONTRAT A LIVRER

D’abord, nous allons élaborer le contrat à livrer portant sur l’actif physique et l’actif financier. On cherchera leur prix en raison de principe de non arbitrage, le rendement du dividende et la valeur de ce contrat.

Définition 

Un contrat à livrer est un accord pour acheter ou vendre un actif à une date fixe à l’avenir, appelé le délai de livraison, pour un prix déterminé à l’avance, appelé le prix à terme. La partie au contrat qui accepte de vendre l’actif est dite prendre une position courte. L’autre partie a l’obligation d’acheter l’actif à la maturité, on dit qu’il prend une position longue.

Objectif d’entrée en contrat à livrer

La principal raison d’entrée en un contrat à livrer est de devenir indépendant du prix inconnu futur d’un actif risqué. Il existe une variété d’exemples : un agriculteur qui désire fixer le prix de vente de ses récoltes à l’avance, un importateur qui prend des dispositions pour acheter des devises à un taux fixe à l’avenir, un gestionnaire de fonds qui veut vendre des actions à un prix connu à l’avance .Un contrat à livrer est un accord direct entre les deux parties. Il est généralement réglé par la livraison physique de l’actif à la date convenue. Comme alternative, le règlement peut parfois être en espèces.

Notation

Notons au moment où le contrat à livrer est initié à l’instant 0, le délai de livraison à l’instant T, et le prix à livrer parF (0, T ).
Le prix du marché à l’instant t de l’actif sous-jacent sera notée S (t).
Si le contrat est initié à l’instant t <T, plutôt que 0, alors nous écrirons F (t, T ) pour le prix à terme.

Remarque 2.1

Aucun paiement n’est effectué par l’une des parties à l’instant 0, lorsque le contrat à livrer est échangé. A la livraison, la partie avec une position longue en bénéficieront si F (0, T ) < S(T ). Ils peuvent acheter l’actif à F (0, T ) et de le vendre au prix du marché S (T ), ce qui rend un bénéfice immédiat de S (T ) − F (0, T ). Pendant ce temps, la partie qui détient une position courte subira uneperte deS (T ) − F (0, T ), car elle devront vendre en dessous de prix du marché. Si F (0, T ) > S(T ), alors la situation sera inversée. Les revenus futurs à la livraison sont S (T ) − F (0, T ) pour une position longue et F (0, T ) − S (T ) pour une position courte, voir Figure 1.

Le prix à livrer

En raison du principe de non arbitrage, il est possible d’obtenir des formules pour les prix à livrer de toutes sortes d’actifs. Nous commençons par le cas le plus simple.

Une action non payant de dividende

Pensez à un titre qui peut être stocké sans frais et n’apporte pas de bénéfice (sauf peut-être pour le gain des capitaux résultant des fluctuations des prix aléatoires). Un exemple typique est une action non payant de dividende. Nous désignerons par r le taux sans risque sous l’intérêt composé continu et supposons qu’il est constant tout au long de la période en question. Une alternative à prendre une position à long terme en action avec la livraison à l’instant T et de prix à termeF (0, T ) est d’emprunter S (0) dollars pour acheter l’action au temps 0 et le garder jusqu’à l’instant T. Le montant S (0)e rT à payer pour régler le prêt avec intérêt à l’instant T est un candidat naturel pour le prix à terme F (0, T ). Le théorème suivant rend cet argument intuitif formel.

Une action payant de dividende

Nous allons généraliser la formule du prix à livrer pour couvrir les actifs qui génèrent des revenus pendant la durée de vie du revenu du contrat à livrer. Le revenu peut être sous la forme de dividendes ou à un rendement de commodité.
Nous allons aussi couvrir le cas lorsque l’actif implique certains coûts (appelé le coût de portage), tels que le stockage ou le traitement par l’assurance, les coûts tant que revenu négatif. Supposons que l’action est payée un dividende div à un temps intermédiaire t entre l’ouverture du contrat à livrer et la livraison. A l’instant t le prix de l’action va baisser par le montant du dividende versé. La formule pour le prix à livrer, ce qui implique le cours de l’action présente, peut être modifiée en soustrayant la valeur actualisée des dividendes.

Le rendement du dividende

Les dividendes sont souvent payés en continu à un taux donné, plutôt qu’à des instants discrets. Par exemple, dans le cas d’un portefeuille largement diversifié de titres, il est naturel de supposer que les dividendes sont versés en continu plutôt que de tenir compte des paiements fréquents disséminés dans l’année. Un autre exemple est la monnaie étrangère, suscitant l’intérêt au taux correspondant. Nous allons d’abord tirer une formule pour le prix à livrer dans le cas de la monnaie étrangère. Soit le prix d’une livre sterling à New York est P (t) de dollars, et que les taux d’intérêt sans risque pour les investissements en livres sterling et en dollars américains sera r GBP et r USD,respectivement. Que l’on compare les stratégies suivantes :
A : Investir P (0) dollars au taux r USD pour l’instant T.
B : Achetez-en 1 livre pour P (0) dollars, l’investir pour l’instant T au taux r GBP ,et prendre une position courte en e rGBP T livres sterling des contrats à livrer avec le délais de livraison T et les prix à livrer F (0, T ). Les deux stratégies exigent la même dépense initiale, de sorte que les valeurs finales devraient être aussi le même.

La valeur d’un contrat à livrer

Chaque contrat à livrer a une valeur nulle lorsqu’ils sont lancés. Comme le temps passe, le prix de l’actif sous-jacent peut changer. Avec elle, la valeur du contrat à livrer peut varier et ne sera plus nulle, en général. En particulier, la valeur d’une position longue seraS (T ) − F (0, T ) lors de la livraison, ce qui peut s’avérer positive, nulle ou négative. Nous dérivons des formules pour capturer les changements dans la valeur d’un contrat à livrer. Supposons que le prix à livrer F (t, T ) pour un contrat à livrer initié au temps t, avec0 < t < T , est plus élevée que F (0, T ). Ce sont de bonnes nouvelles pour un investisseur ayant une position à long terme initiée au temps 0. Au temps T tel investisseur gagnera F (t, T ) − F (0, T ) par rapport à un investisseur d’entrer dans un nouveau contrat à long terme au temps t avec la même date de livraison T.
Pour trouver la valeur de l’original position à terme à l’instant t tout ce que nous avons à faire c’est faire l’abstraction de ce gain revenir à l’instant t. Ce montant serait reçus (ou payés, si elle est négative) par l’investisseur ayant une position longue si le contrat à livrer initiée au temps 0 liquidée au temps t, qui est, avant la livraison T. Cet argument intuitif doit être soutenu d’une preuve d’arbitrage rigoureux.

CONTRAT A TERME

L’une des deux parties à un contrat à livrer perdra de l’argent. Il est toujours un risque de défaut de la partie qui a subi une perte. Les contrats à terme sont conçus pour éliminer ce risque par l’intermédiaire de la Chambre de compensation.

Définition 

Un contrat à terme est un engagement légal de livrer ou de prendre livraison d’un actif financier ou d’une quantité donnée d’une certaine marchandise, à une date spécifique, au prix fixé à l’avance dans le contrat et selon les modalités établies par la chambre de compensation où se négocie ce contrat. L’acheteur du contrat est alors tenu, à l’échéance, de prendre possession de l’actif financier ou de la marchandise désignée et de la payer au prix indiqué sur le contrat. De la même manière, le vendeur du contrat à terme est tenu de livrer l’actif financier ou la marchandise à l’échéance et d’accepter le prix indiqué sur son contrat.

Présentation

Nous supposons pour un moment que le temps est discret avec des pas de longueur τ , généralement une journée. Tout comme un contrat à livrer, un contrat à terme nécessite un actif sous-jacent et une date précise de livraison, une action avec des prix S (n)pour n = 0, 1, … et l’instant T, par exemple. En plus des cours desactions ordinaires, le marché dicte le prix à terme f (n, T ) chaque étape n = 0, 1, … tels que nτ ≤ T . Ces prix ne sont pas connus au temps 0, sauf pourf (0, T ), et nous allons les traiter comme des variables aléatoires. Comme dans le cas d’un contrat à livrer, il ne coûte rien pour initier une position à terme. La différence réside dans le flux de trésorerie au cours de la durée de vie du contrat. Un contrat à une position longue comporte un seul versement S (T ) − F (0, T ) à la livraison pour un contrat à livrer.
Un contrat à terme nécessite un flux de trésorerie au hasard, connu sous le nom de marquage du marché. À savoir, à chaque pas de temps n = 1, 2, … de telle sorte que nτ ≤ T le titulaire d’une position acheteur recevra le montant. Même si le contrat à terme oblige un des parties à vendre et l’autre à acheter, il ne lie pas directement les deux parties. C’est la Chambre de compensation qui agit comme intermédiaire entre l’acheteur et le vendeur et devient par le fait même responsable de l’exécution des deux côtés de l’opération. Dès qu’une opération est acceptée par la Chambre de compensation ; elle se substitue aux deux partenaires respectifs, devenant vendeur pour l’acheteur et acheteur pour le vendeur.
Par son intervention, l’engagement contractuel de chaque acheteur et vendeur de contrat à terme n’est plus envers sons partenaire, mais plutôt envers la Chambre de compensation. Ainsi, les deux parties du contrat à terme deviennent totalement indépendantes l’une de l’autre. Chaque contractant (acheteur ou vendeur) peut ainsi dénouer en tout temps l’obligation qui résulte ducontrat à terme qu’ila signé, et ce, en effectuant une opération inverse équivalente.

Remarque 3.2

Afin de s’assurer que les obligations liées à une position à terme sont remplies, certains règles pratiques sont appliquées. Chaque investisseur entrant en un contrat à terme doit payer une caution, appelée la marge initiale, qui est conservé par le défrichement de Chambre de compensation. Dans le cas d’une position acheteur le montantf (n, T ) − f (n − 1, T ) est ajouté au dépôt s’il est positif ou soustraite s’il est négatif à chaque pas de temps n, généralement une fois par jour. (Le montant opposé est ajouté ou soustrait pour une position vendeur.) Tout excès qui s’accumule au-dessus de la marge initiale peut être retirée par l’investisseur. D’autre part, si le dépôt est inférieure à un certain niveau, appelé la marge de maintien, la chambre de compensation émet un appel de marge, en demandant à l’investisseur d’effectuer un paiement et restaurer le dépôt au niveau de la marge initiale.
Une position à terme peut être fermé à tout moment, dans ce cas, le dépôt sera remboursé à l’investisseur. En particulier, la position à terme sera fermé immédiatement par la Chambre de compensation si l’investisseur ne répond pas à un appel de marge. En conséquence, le risque de défaut est éliminé.

Exemple 3.3

Supposons que la marge initiale est fixée à 10% et la marge de maintien à 5% du prix à terme. Le tableau ci-dessous montre un scénario pour les prix des contrats à termef (n, T ). Les colonnes intitulées ’marge 1’et’ marge 2 ’montrent le dépôt au début et à la fin de chaque jour, respectivement. La colonne « paiement » contient les montants payés pour compléter le dépôt de garantie (nombre négatif) ou retirés (nombre positif).

Remarque 3.4

Une caractéristique importante du marché à terme est la liquidité (la facilité pour le contrat à terme d’être échanger en un autre instrument ou un bien à une date donnée). Ceci est possible grâce à la normalisation et la présence d’une Chambre de compensation. Seuls les contrats à terme avec notamment les dates de livraison sont négociés. En outre, les contrats à terme sur matières premières comme l’or ou du bois ont précisé les modalités de livraison normalisées ainsi que normalisées les propriétés physiques des actifs. La chambre de compensation agit comme intermédiaire, correspondant à la somme d’un grand nombre de courtes et longues positions à terme de différentes tailles. La Chambre de compensation maintient également la marge déposée chaque investisseur pour éliminer le risque de défaut de paiement. Ceci est en contraste avec les contrats à livrer afin qui sont négociés directement entre les deux parties.

La couverture avec du contrat à terme

Le fondement

Un moyen relativement simple de couvrir une exposition des variations de prix de l’action est d’entrer dans un contrat à livrer. Toutefois, un contrat de ce genre peut ne pas être facilement disponible, sans oublier le risque de défaut. Une autre possibilité est pour couvrir en utilisant le marché à terme, ce qui est bien développé, liquide et protégé contre le risque de défaut de paiement.

Exemple 3.7

Soit S(0) = 100$ et soit le taux sans risque est constant r = 8%. Supposer que le marquage du marché a lieu une fois par mois, pas de temps τ étant = 1/12. Supposons que nous voulons vendre l’action au bout de 3 mois. Pour couvrir le risque des variations du cours des actions, nous entrons dans un contrat à court terme sur l’action avec la livraison en 3 mois. Les paiements résultant du marquage du marché sont investis (ou empruntés), suscite un intérêt au taux sans risque.
Les résultats pour deux scénarios de prix des actions sont affichés ci-dessous. La colonne intitulée « m2m » représente les paiements dus au marquage du marché et la dernière colonne montre l’intérêt couru jusqu’à la date de livraison.

Contrat à terme sur indice boursier

Un indice boursier est une moyenne pondérée d’une sélection du prix des actions avec des poids proportionnels à la capitalisation boursière des actions. Un indice de ce genre sera approximativement proportionnel à la valeur du portefeuille de marché (voir [1]) si l’ensemble choisi des actions est assez grand. Par exemple, l’indice Standard et Poor S & P500 est calculée en utilisant 500 actions, représentant environ 80% du commerce à la Bourse de New York.
Pour les besoins de marchés à terme, l’indice peut être considéré comme un titre. C’est parce que l’indice peut être identifié avec un portefeuille, même si dans la pratique,les coûts de transaction feraient obstacle à l’échange de ce portefeuille.
Les prix à terme f (n, T ), exprimés en points d’indice, sont supposés les mêmes conditions comme précédemment. En marquage du marché est donné par la différence f (n, T ) − f (n − 1, T ) multiplié par un montant fixe (500$ pour les contrat à terme sur S & P500). Si le nombre des actions comprises dans l’indice est grand, il est possible et commode de supposer que l’indice est un atout aux dividendesversés en continu.

Remarque 3.15

La possibilité d’ajuster le bêta d’un portefeuille est précieux pour les investisseurs qui peuvent souhaiter, soit pour réduire ou d’agrandir le risque systématique.
Par exemple, supposons que l’investisseur est en mesure de concevoir un portefeuille avec une performance moyenne supérieure à celui du marché. En entrant dans une position à terme tels que le bêta du portefeuille qui en résulte est égal à zéro, l’investisseur sera couvert contre les indésirables mouvements du marché. Ce point est crucial en cas de récession, de sorte que la performance supérieure du portefeuille par rapport au marché peut être activée dans un but lucratif en dépit d’une baisse du marché. D’autre part, si le marché montre une certaine croissance, l’espérance du rendement du portefeuille couvert sera réduite par comparaison parce que la position à terme se traduira par une perte. Il convient de souligner que ce type de couverture à terme fonctionne uniquement avec en moyenne.

Conclusion partielle

Le contrat à terme a évolué à partir du contrat à livrer qui réécrit quotidiennement, à un prix égale au prix à terme d’un actif. Dans ce fait, le contrat à terme ressemble à une suite de contrat à livrer ayant tous la même échéance que le contrat à terme, et qui se suivent dans le temps. Chaque jour, le contrat de la veille réglé et un nouveau contrat est négocié à un prix égal au prix à terme de l’actif en vigueur cette jour-là, pour la date d’échéance du contrat. En outre, la valeur du contrat à terme est remise à zéro chaque jour. En générale, les contrats à terme sont négociés sur un marché organisé ce qui leur donne de la liquidité. Etant plus liquide, les contrats à terme permettent aux investisseurs de se protéger contre le risque de variations soudaines du prix au comptant d’un actif.

Table des matières

INTRODUCTION
1 NOTIONS PRELIMINAIRES 
1.1 Définitions
1.2 Le principe de non arbitrage
1.3 L’intérêt composé périodique ou discret
1.4 L’intérêt composé continu
2 CONTRAT A LIVRER 
2.1 Définition
2.2 Le prix à livrer
2.2.1 Une action non payant de dividende
2.2.2 Une action payant de dividende
2.3 Le rendement du dividende
2.4 La valeur d’un contrat à livrer
Conclusion partielle
3 CONTRAT A TERME 
3.1 Définition
3.2 l’évaluation du contrat à terme
3.3 La couverture avec du contrat à terme
3.3.1 Le fondement
3.3.2 Contrat à terme sur indice boursier
Conclusion partielle 
CONCLUSION GENERALE 
Bibliographie