Principe de l’homogénéisation

Etude dynamique

Introduction

Notre objectif est de déterminer les fréquences propres et les modes propres associés d’une poutre en rotation uniforme autour d’un axe fixe. Nous utilisons une modélisation par éléments finis de poutre. Nous allons écrire l’équilibre dynamique de la structure en rotation en supposant de prime abord que les seuls efforts subis par la structure sont d’origine centrifuge. C’est àdire que nous étudions la poutre en rotation « dans le vide ». Nous nous réservons néanmoins la possibilitéde rajouter des efforts ou des moments (par exemple aérodynamiques) au vecteur de forces centrifuges, avec pour seule restriction le fait qu’ils doivent rester constants (ou être considérés comme tels relativement aux fréquences et àla vitesse de rotation). L’intégration d’efforts variant dans le temps (du type aéroélastiques) nécessite une modélisation particulière. Nous supposerons que l’axe de rotation de la poutre est perpendiculaire àson axe longitudinal. Nous prenons la structure au repos telle que les angles de battement et de traînée soient nuls comme indiquésur la figure I.1. Toutefois, l’application d’efforts peut impliquer un déplacement de la structure en dehors du plan de rotation.

Energie cinétique

Soit {P0 } le vecteur représentant la position de la structure dans la configuration tournante « S 0 « . Nous confondons sa ligne moyenne avec l’axe x(vecteur du repère tournant R 0) dont une extrémitéest l’origine du repère galiléen R g comme indiquéfigure (I.4) (la structure y est schématisée par sa ligne moyenne, en réalité, P0 a trois composantes dans R 0 ).

Etude de l’élément de poutre

Introduction

L’étude statique et dynamique de la structure élancée par des éléments finis de poutres composites est rendue possible grâce l’utilisation des caractéristiques homogénéisées. Nous allons ici définir l’élément de poutre àtravers le champ de déplacements, des paramètres « moyens » de déplacements et de rotation de la section courante et des fonctions de gauchissements nécessaires pour une prise en compte des effets dûs àla torsion et àla flexion dans les sections multimatériaux fortement anisotropes. L’influence des phénomènes de gauchissements des sections est intégré dans la formulation élément finis par l’intermédiaire de coefficients de cisaillement (pour les gauchissement dûs àla flexion) et de la rigiditéde torsion.
Les sections étudiées sont de géométries quelconques et composées de plusieursmatériaux orthotropes. Néanmoins, la modélisation « poutre » d’une structure (modérément) élancée n’est pas toujours fiable. On en touche les limit es quand des modes de vibration de « plaque » apparaissent àbasse fréquence. M. Hayyane Filali, et A. Venkatesh [HAY92] ont évaluél’influence du remplissage d’une poutre caisson (tests numériques et expérimentaux de caisson avec et sans matériau de remplissage) sur ses fréquences et formes propres (comportement « de poutre » avec matériau de remplissage et de « plaques assemblées » sans mousse). Une autre illustration en est donnée dans le cas d’une poutre composite en forme de « U » traitépar P. Amat et J.M. Cieaux [AMA92] met en évidence des fréquences (faibles) de « plaque » de la poutre qui ne peuvent être détectées par une modélisation poutre.

Homogénéisation

Rappels

Une poutre composite sera constituée de différents matériaux (appelés phases) assemblés entre eux en respectant les hypothèses du collage parfait. Les phases sont cylindriques, de génératrices parallèles àla ligne moyenne de la poutre. Les matériaux constitutifs des phases sont supposés orthotropes.
Un matériau orthotrope possède deux plans orthogonaux de symétrie du comportement mécanique.
La loi de comportement traduisant les relations contraintes déformations peut s’écrire sous forme matricielle (notation ingénieur) àl’aide des neuf constantes élastiques du matériau. Lorsqu’on écrit ces relations dans les axes d’orthotropie (repérés par les indices 1, 2, et 3) définis au moyen du trièdre construit sur les deux plans de symétrie orthogonaux et leur intersection, on obtient:

Utilisation des composites dans les poutres

Hypothèse

-H4- Nous limiterons notre étude àdes phases orthotropes, l’un des axes d’orthotropie étant parallèle àl’axe longitudinal de la poutre, les deux autres directions pouvant évoluer dans le plan de la section. En effet, dans la majoritédes cas industriels, les différents matériaux employés dans la construction des poutres composites ont pour propriétéd’avoir un axe d’orthotropie parallèle àcelui de la poutre. Les raisons résident dans les problèmes d’élaboration (symétrie miroirimposée pour éviter les déformations dues aux contraintes thermiques), leur agencement par rapport àl’élancement de la poutre (les matériaux de remplissagetels que le Nid d’Abeilles se placent le plus souvent perpendiculairement à l’axe de la poutre), et leur comportement. En effet, dans le cas plus général oùles axes d’orthotropie n’ont pas de direction imposée, il apparaît des couplages particuliers encore mal maîtrisés des phénomènes de flexion torsion et de traction, en cours d’étude [EST93].
Nous laissons libre l’orientation des deux autres axes d’orthotropie dans le plan de la section.

Principe de l’homogénéisation

Cette dernière repose sur l’utilisation de paramètres intégraux pour définir le champ de déplacements. Cette notion introduite par COWPER, GAY et POTIRON ([COW66],[GAY79],[POT85]), pour les poutres homogènes isotropes classiques a été ensuite étendue aux poutres composites par GAY, CARRIER, Et CIEAUX ([GAY81] ,[CAR88] ,[CIE88]).
A partir de la formulation du champ de déplacements, on peut définir une section équivalente àla section multiphases réelle, avec des caractéristiques dites homogénéisées (rigidités àl’extension, la flexion, ou la torsion, densitélinéique) et des paramètres géométriques équivalents (le centre élastique et les axes principaux, le centre de torsion et le centre de masse).
En pratique, ces caractéristiques sont obtenues par un calcul numérique spécifique, sur un maillage de la section [NOU93.2]. Elles sont nécessaires dans un second temps pour servir de données d’entrée pour la discrétisation de la poutre par éléments finis monodimensionnels, afin de mettre en oeuvre les principes exposés auchapitre précédent.

Assemblage des raideurs géométriques

Mécanisme de l’assemblage des raideurs géométriques élémentaires:
La figure 2.20 illustre le mécanisme de l’assemblage des raideurs géométriques regroupées suivant le schéma précédent: Chaque élément est caractérisépar un « cube », tel que représentésur la figure 2.18. Certains termes des « cubes » élémentaires successifs viennent se cumuler selon le principe classique d’assemblage des termes de rigidité. Lorsqu’on représente graphiquement les emplacements oùl’on observe ces additions, on obtient l’assemblage symbolisésur la figure 2.20: chaque nouveau cube élémentaire s’imbrique sur un quart supérieur gauche au quart inférieur droit du « cube » élémentaire précédent.

Algorithmes

Introduction

Nous reprenons, ici, les étapes de la modélisation effectuée dans la première partie de ce rapport. L’implantation du code de calcul correspondant est réalisé sur ordinateur du type PC sous l’environnement Microsoft DOS. Nous devons donc respecter certaines règles de programmation (le système n’est pas aussi protégéet évoluéque le système UNIX par exemple et il est aiséde le bloquer), et tenir compte des limitations matérielles et logicielles (compilateurs, système MS_DOS) dans nos choix. En revanche, la portabilité du code sera possible sur tout système possédant un compilateur Pascal standard (après quelques modifications légères d’en tête de fichiers).
Notre algorithme de résolution comporte deux étapes principales. La première consiste à résoudre le système quasi-statique et la seconde le système dynamique.
L’organigramme représenté sur le tableau 2.5 en schématise les séquences.

Description de l’algorithme

Les algorithmes de résolution de systèmes linéaires sont àla base de tout code de calcul par éléments finis et, àce titre ont bénéficiéde nombreuses contributions avec l’utilisation intensive de l’outil informatique ([LAS87]). Aux méthodes conventionnelles basées sur la décomposition de Gauss ont succédé les méthodes itératives. Ces dernières permettent aujourd’hui une rapidité de traitement qui est bien supérieure. Néanmoins, leur mise en oeuvre est plus délicate et nécessite un bon conditionnement du système à traiter si l’on veut obtenir des résultats de manière rapide et précise.

Choix d’un algorithme de résolution

L’équation (2.22) est un système matriciel de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres, nous nous proposons, dans cette partie de choisir un algorithme de résolution adéquat ànos problèmes. De nombreux algorithmes de résolution matricielle sont disponibles dans la littérature d’analyse numérique [LAS87]. Il nous faut faire un choix en fonction de différents critères bien détaillés dans [GER93.2]. Parmi ces critères ressortent principalement la taille du problème àtraiter (nombre de DDL), le nombre de fréquences désirées et la préservation du caractère creux des matrices. Pour le mécanicien, le nombre de fréquences propres représentatif de la réalité est limité. Nous nous sommes dirigés vers une méthode de résolution numérique qui permet de calculer les fréquences propres par ordre croissant en nombre limité. Il s’agit d’une méthode itérative basée sur le principe dit de la puissance. Son principe peut être illustrécomme suit: le système (2.22) peut être réécrit sous la forme:

Principe des listes chaînées

On fait appel àla notion de pointeur ([WIR89]), qui est une variable adressemémoire de l’ordinateur. A l’adresse concernée est positionnée une variable (de type, donc de taille, indifférent). Son allocation (création de l’espace mémoire) et sa « désallocation » (suppression de ce dernier) sont possibles àtout instant. Une liste chaînée est une succession d’éléments de même type auxquels on accède de manière séquentielle. Chaque élément est un pointeur (que l’on peut créer et détruire). Ces éléments seront appelés des noeuds. La manière de les lier est simple, chacun contient l’adresse du noeud suivant, jusqu’au dernier qui pointe sur un élément dénommé nul. Ceci constitue une liste àsimple chaînage(du premier élément au dernier), il en existe de plus complexes, àdouble chaînage (du début àla fin et réciproquement) ou plus (on peut se déplacer de bas en haut dans le cas d’une matrice).
Il faut toutefois limiter le nombre d’éléments associés au noeud courant afin de ne pas être pénalisé en encombrement mémoire. C’est pourquoi, àchaque noeud de ligne, nous associons les informations suivantes (Cf. tableau 2.8) :
– Numéro de ligne (max. = 64000 : 4 Octets)
– Numéro de colonne (max. = 64000 : 4 Octets)
– Valeur de l’élément (réel double précision : 8 Octets)
– Adresse du noeud suivant (contenue sur 4 Octets)
Au total nous avons utilisé2,5 fois la place qu’aurait pris un réel.

Table des matières

INTRODUCTION
I ère Partie ETUDE THEORIQUE
I.1 Introduction
I.2 Etude dynamique
I.2.1 Formulation variationnelle
I.2.1.1 Principe de Hamilton
I.2.1.2 Variation d’énergie cinétique (δT)
I.2.1.3 Variation d’énergie potentielle (δV)
I.2.2 Modélisation dynamique
Hypothèses
I.2.2.1 Détermination du déplacement quasi-statique
I.2.2.2 Détermination de la configuration de mouvement
a) Liaison avec l’état quasi-statique
b) Variation d’énergie cinétique
c) Variation d’énergie potentielle
I.2.3 Discrétisation
I.2.3.1 Etat quasi-statique
a) Energie potentielle
b) Energie cinétique
I.2.3.2 Configuration en mouvement
a) Energie potentielle
b) Energie cinétique
I.3 Etude de l’élément de poutre
Introduction
I.3.1 Homogénéisation
I.3.1.1 Rappels
I.3.1.2 Utilisation des composites dans les poutres
Hypothèse
I.3.1.3 Principe de l’homogénéisation
I.3.2 Formulation de l’élément fini
Rappels sur les poutres
Hypothèses
Paramètres intégraux
I.3.2.1 Champ de déplacements
Repère élastique
Centre de torsion
Torseur des forces de cohésion
Relations d’équilibre
I.3.2.2 Matrice d’interpolation des paramètres intégraux
I.3.2.3 Choix de l’interpolation de u
Définition de critères
Détermination du nombre minimal d’éléments
Conclusion
II eme Partie ETUDE NUMERIQUE
II.1 Détermination des matrices élémentaires
II.1.1 Matrice de raideur élastique
II.1.2 Matrice de masse
II.1.3 Vecteur des forces centrifuges
II.1.4 Matrice de raideur cinétique
II.1.5 Matrice de raideur géométrique
II.1.5.1 Rappel
II.1.5.2 Procédure de calcul de [KG] élémentaire
II.1.5.2.a Calcul de σxi à partir des déplacements quasi-statiques
II.1.5.2.b Calcul de δεnlxx
II.1.5.2.c Expression du produit δεnlxx 12 .σxx 01
II.1.5.2.d Intégration sur la longueur
II.1.5.2.e Intégration sur la section; Extraction des termes homogénéisés
II.1.5.3 Assemblage des raideurs géométriques
II.1.6 Conclusion
II.2 Algorithmes
II.2.2 Résolution du problème quasi statique
II.2.3 Résolution du problème dynamique
II.2.3.1 Choix d’un algorithme de résolution
II.2.3.2 Méthode de la puissance inverse
II.2.4 Mise en place informatique
II.2.4.1 Aspect préprocesseur: entrée des données
II.2.4.2 Aspect stockage et utilisation des matrices
II.3 Résultats numériques
II.3.1 Test de convergence
II.3.2 Comparaison avec des poutres non précontraintes
Poutre en rotation
a) Extrémitéencastrée
II.3.4 Extension àl’étude de stabilité
II.3.4.1 Etude du flambage par compression
II.3.4.2 Etude du flambage par déversement latéral
III e PARTIE ETUDE EXPERIMENTALE
III.1 Bases de l’étude
III.1.1 Objectifs
III.1.2 Choix des éprouvettes
III.2 Précontrainte de traction
III.2.1 Choix d’un matériau pour les sandows
– Fixations sur la machine
III.2.3 Résultats
III.2.4 Analyse-conclusion
III.3 Précontrainte de flexion
III.3.1 Résultats
III.3.2 Analyse-conclusion
Conclusion
ANNEXES
ANNEXE I
ANNEXE II
ANNEXE III
ANNEXE IV
ANNEXE V
ANNEXE VI
ANNEXE VII