Stationnarité d’une série temporelle

NOTATIONS ET DEFINITIONS

Stationnarité d’une série temporelle

La stationnarité joue un rôle primordial dans l’étude d’une série temporelle (Yt ) 1≤t≤n. Soit Yt un processus supposé évolue ou non avec le temps. Si la structure reste la même, le processus est dit alors stationnaire.

Série stationnaire au sens fort

Un processus temporel à valeurs réelles et en temps discret (Yt ) 1≤t≤n est dit stationnaire au sens fort si pour toute fonction f mesurable: f(Y 1,Y 2 , . . . Yt ) et f(Y 1+k ,Y 2+k , . . . Yt+k ) ont même loi.

Types de non-stationnarité

Lorsqu’une ou plus des conditions de stationnarité n’est pas remplie, la série est dite non-stationnaire. La notion de non-stationnaire est alors relativement vaste, et surtout hétérogène: il existe différentes sources de non-stationnarité, et à chaque origine de non-stationnarité est associée une méthode propre de stationnarisation. Nelson et Plosser ont retenu, en 1982, deux classes de processus non-stationnaires : les processus T S (trend stationary ) et les processus DS (difference stationary ) Les premiers correspondent à une non-stationnarité de type déterministe, alors que les seconds correspondent à une non-stationnarité de type stochastique. 3 – (Yt ) est un processus non-stationnaire TS s’il peut s’écrire sous la forme Yt = f (t) + Zt où f (t) est une fonction (déterministe) du temps, et (Z t ) est un processus stationnaire. L’exemple le plus simple est celui de la tendance linéaire sous la forme Y t = α + β t + ε t . Ce processus est en effet non-stationnaire puisque son espérance vaut α + β t à la date t, et donc, dépend de t. – Le processus DS avec dérive (β 6 = 0) s’écrit comme suit: Y t =Yt−1+β + ε t .
Le processus non-stationnaire DS avec dérive est appelé aussi marche au hasard (ou marche aléatoire) avec dérive. Par récurrence, on obtient.

Stationnarité en différence

Définition

Une série est stationnaire en différence si la série obtenue en différenciant les valeurs de la série est stationnaire.
L’opérateur de différence est noté : 4Yt =Yt -Y t−1 . 4 Pour stationnariser un processus DS il suffit de le passer en différence première : Yt – Y t−1=β + ε t (avec dérive) Yt -Y t−1= ε t (sans dérive)

Ordre d’intégration d’une série temporelle

Une série temporelle est dite intégrée d’ordre d, que l’on note I(d), si la série obtenue après d différenciations est stationnaire. Une série stationnaire fluctue autour d’une valeur moyenne et sa fonction d’autocorrélation décline rapidement vers zéro. Si une série présente des autocorrélations positives pour un grand nombre de décalages (par exemple 10 ou plus), alors elle nécessite d’être différenciée. La différenciation tend à introduire des autocorrélations négatives. Si l’autocorrélation de décalage 1 est égale à 0 ou négative, la série n’a pas besoin d’être différenciée. Si l’autocorrélation dedécalage 1 est inférieure à –0.5, la série est sur différenciée. L’ordre optimal de différenciation est souvent celui pour lequel l’écart-type est minimal. Un accroissement de l’écart-type doit donc être considéré comme un symptôme de sur différenciation. Un troisième symptôme de sur différenciation est un bchangement systématique de signe d’une observation à l’autre.

Fonction d’autocorrélation partielle

La fonction d’autocorrélation partielle mesure l’influence entre le processus et son décalé dans le temps. Calculer la corrélation entre deux instants consiste à enlever une partie d’information contenue entre ces deux instants.
La fonction d’autocorrélation partielle de Yt de décalage 1 , est définie par: α(1)=corr(Y t , Yt−1 ) =ρ(1) . α(1) est la corrélation entre Yt et Y t−1 . On suppose que c’est également la corrélation entre Y t−1 et Y t−2 .Si Yt et Y t−1 sont corrélés, et que Y t−1 et Y t−2 le sont également, on peut supposer qu’une corrélation sera présente entre Y t et Y t−2. C’est-à-dire que la corrélation de décalage 1 se propage au décalage 2 et sans doute aux décalages d’ordre supérieurs. Plus précisément, la corrélation attendue au décalage 2 est la carré de la corrélation observée au décalage 1. L’autocorrélation partielle de décalage 2 est donc la différence entre l’autocorrélation de décalage 2 et la corrélation attendue due à la propagation de la corrélation de décalage 1. La corrélation partielle de décalage k est la corrélation entre Yt et Y t−k , contrôlant l’influence des k-1 valeurs interposées.

Comportement d’un processus ARMA(p,q) à travers ses fonctions ACF et PACF

Les fonctions ACF et PACF d’un processus ARMA(p,q) combinent des caractéristiques propres aux processus AR et MA.
La fonction ACF décroit vers 0 rapidement et se comporte comme l’ACF d’un processus AR(p) après q-p retards. Son allure est de type exponentiel ou sinusoïdal selon la valeur des coefficients.
La fonction PACF décroit vers 0 rapidement et se comporte comme la PACF d’un processus MA(q) après p-q retards. Son allure est de type exponentielou sinusoïdal selon la valeur des coefficients.

Remarque

Pour les modèles ARIMA, la vraisemblance conditionnelle et la vraisemblance inconditionnelle fournissent des estimateurs qui sont asymptotiquement équivalents. On peut néanmoins trouver la fonction de vraisemblance inconditionnelle de Y est normale avec une certaine moyenne ˆ α et une certaine variance ˆ σ.

Test sur le résidu

Lorsque le processus est estimé correctement, la série des résidus suit asymptotiquement la même loi que le processus générateur ε t (bruit blanc faible en général). On peut donc tester la qualité de l’estimation en vérifiant,visuellement et à l’aide de tests statistiques, qu’il est vraisemblable que ces résidus proviennent d’un bruit blanc.
On résume cette étude en effectuant le test:

APPLICATION

Dans cette partie, nous allons chercher un modèle ARIMA qui correspond à la série “Indice de chiffre d’affaires”.

Chiffre d’affaires et Indice de chiffre d’affaires

Chiffre d’affaires

Le chiffre d’affaires représente le montant des affaires (hors taxes) réalisées par l’entreprise avec les tiers dans l’exercice de son activité professionnelle normale et courante. Il correspond à la somme des ventes de marchandises, de produits fabriqués, des prestations de services et des produits des activités annexes.

Indice du chiffre d’affaires

Le suivi de l’évolution des activités productives dans une économie se fait à travers plusieurs indicateurs. Parmi ces indices, figure l’indice du chiffre d’affaires des services (commerce et autres services) qui a pour objectif de mesurer l’évolution, période par période du chiffre d’affaires réalisé par les entreprises du secteur tertiaire. Comme l’Indice de la Production Industrielle (IPI) qui donne une idée sur la santé de l’industrie, l’ICA donne un aperçu de l’état de santé des entreprises de commerce et des services.
L’indice de valeur du chiffre d’affaires compare la valeur du chiffre d’affaires de la période courante (aux prix courants) à celle de l’année de base (aux prix de base). Il est calculé en agrégeant les indices élémentaire des produits de l’échantillon pondérés par la part de leur chiffre d’affaires dans l’ensemble du secteur tertiaire.
L’indice de volume du chiffre d’affaires compare le volume du chiffre d’affaires de la période courante (aux prix courant) à celle de l’année de base (aux prix de base). Dans ce cas, le chiffre d’affaires doit être déflaté en utilisant un indice de prix approprié (IPC, IPP, etc.), pour corriger les effets de la variation du prix. Lorsque pour toutes sortes de raisons, des indices de prix appropriés ne sont pas disponibles, le volume du chiffre d’affaires peut être approximé en utilisant des indicateurs de volume de production comme par exemple la quantité physique des biens vendus ou encore des indicateurs d’intrants comme le travail. L’indice de volume du chiffre d’affaires est celui recommandé dans le contexte des statistiques de court terme, mais le plus souvent la disponibilité des données nécessaires pour son calcul fait défaut.
Compte tenu de la complexité d’obtenir les quantités de biens et services dans le secteur tertiaire, le calcul de l’indice de volume peut s’avérer compliqué. Dans un premiertemps, l’indice de valeur peut être implémenté.
L’ICA est sans dimension et facilite les comparaisons dans le temps et l’espace de l’intensité des activités dans le commerce de distribution et des services. L’ICA renseigne sur les changements et mouvements qui interviennent dans le climat des affaires.

Choix de l’année de base

Une période de base est une période de référence (ou de base) par rapport à laquelle tout état passé ou futur du phénomène mesuré sera rapporté. Ainsi, la régularité de l’évolution de l’ICA dépend de la « normalité » de sa période de base. En principe, une période de base ne peut jouer correctement le rôle de référence que si elle et bien choisie. Une période de base doit être une période médium. Elle ne doit pas correspondre à une période de fortes tensions sur les prix.

Série stationnaire (différentiation)

La différentiation d’une série temporelle consiste à rendre une série stationnaire, d’appliquer un terme de différenciation, c’est à dire de remplacer la série originale par la série des différences des points adjacents. Si la série est stationnaire après l’application du terme de différenciation alors la fonction d’autocorrélations de la série différenciée ne présente que quelques pics significatifs, encore appelés autocorrélations résiduelles, le cas échéant l’opération est répétée. Lorsque la série originale est stationnaire alors l’ordre du terme de différenciation dans le modèle finale est de 0, lorsqu’une différenciation est nécessaire à l’obtention de la stationnarité l’ordre du terme de différenciation dans le modèle finale est de 1, et ainsi de suite.

Identification des paramètres AR et MA

Après la stationnarité d’une série observée, l’analyse se centre sur la détermination des ordres des termes autorégressifs et de moyennes mobiles à l’aide des fonctions d’auto corrélations (ACF) et des fonctions d’autocorrélations partielles (PACF).
L’étude des ACF et PACF permet de mettre en évidence l’existence des termes autorégressif AR(p) et de moyenne mobile MA(q). Précisément, c’est la présence d’autocorrélations et d’autocorrélations partielles significatives qui apparaissent sous la forme de pics dans les graphes des ACF et PACF qui indique p et q.

VERIFICATION

La vérification du modèle ARIMA est faite sur l’étude de la série des résidus.
Ce sont les ACF et les PACF de la série des résidus qui permettent d’observer le degré d’ajustement du modèle à la série originale. Si le modèle est bien ajusté, alors la série des résidus se comporte comme un processus de bruit blanc (Figure 5) sinon des autocorrélations et des autocorrélations partielles significatives résiduelles sont présentes.

CONCLUSION

Dans le but de savoir le meilleur modèle conforme le mieux aux données: indices des chiffres d’affaires.
Nous avons analysé l’évolution des ICA entre 1995 et 2015 sous la forme de séries temporelles.
Pour ce cela, nous avons utilisé les modèles: AR(p), MA(q) et le modèle combiné ARMA(p,q) en considérant les opérations statistiques: moyenne, variance, covariance, écart type, fonction d’ autocorrélation. Et comme la série est non stationnaire, une différentiation d’ordre d noté I(d) a été nécessaire, d’où ARIMA(p,d,q). On peut écrire les modèles: AR(p), MA(q), ARMA(p,q)
sous la forme ARIMA(p,d,q) en considérant les paramètres p, d et q. ARIMA devient ARMA en remplaçant d par 0, ARIMA devient AR en remplaçant d=0 et q=0 et ARIMA devient MA en remplaçant d=0 et p=0. Ainsi il existe plusieurs modèles ARIMA suivant les valeurs de p, de d et de q. Le meilleur modèle est celui qui minimise le critère: AIC, SIC et HQ. Toutefois l’analyse des résidus nous permet d’accepter le modèle final. Le résidu du modèle final doit être un bruit blanc. L’observation des graphiques des fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle nous a permis de retenir les modèles suivants: ARIMA(1,1,0), ARIMA(0,1,1), ARIMA(1,1,1). Le modèle ARIMA(0,1,1) est apparu comme le plus fiable et a été retenu pour décrire l’évolution des Indices des Chiffres d’Affaires. Ce dernier est donnée par l’équation: 4Yt = -0,284519ε t−1 + ε t où ε t est un bruit blanc. C’est à partir de ce modèle qu’une étude de prévision des valeurs futures des ICA a étéfaite.

Table des matières

INTRODUCTION
Partie I
I.NOTATIONS ET DEFINITIONS
1. Stationnarité d’une série temporelle
1.1 Série stationnaire au sens fort
1.2 Série stationnaire au sens faible
1.3 .Types de non-stationnarité
1.3.1. Stationnarité en tendance
1.3.2. Stationnarité en différence
1.3.2.1. Définition
1.3.2.2. Ordre d’intégration d’une série temporelle
1.3.2.3. Opérateur de retard
2. Indices descriptifs d’une série temporelle
2.1. Indices de tendances centrales
2.2. Indices de dispersion
2.3. Indices de dépendance
2.3.1. Auto-covariance et fonction d’auto-covariance
2.3.1.1. Auto-covariance
2.3.1.2. Fonction d’auto-covariance
2.3.2. Fonction d’autocorrélation et fonction d’autocorrélation partielle
2.3.2.1. Fonction d’autocorrélation
2.3.2.2. Fonction d’autocorrélation partielle
2.3.2.3. Visualisation des autocorrélations
3. Bruit blanc
II.PROCESSUS ALEATOIRES STATIONNAIRES ET LES PROCESSUS ARIMA
1. Les modèles ARIMA
1.1. Introduction
1.2. Modèle Autorégressif
1.3. Modèle de Moyenne Mobile
1.4. ARMA (p,q)
1.5. ARIMA (p,d,q)
1.6. Modèle de Bruit Blanc
1.7. Comparaison de AR(p), MA(q), ARMA (p,q) avec ARIMA(p,d,q)
1.7.1. AR(p) et ARIMA (p,d,q)
1.7.2. MA(q) et ARIMA (p,d,q)
1.7.3. ARMA (p,q) et ARIMA(p,d,q)
1-8.Inversion des polynômes et causalité
1-8-1.Inversion des polynômes
1-8-2.Causalité
2. Estimation des paramètres
3. Comparaison des modèles
4. Test sur le résidu
III. PREVISION
Partie II : APPLICATION
I.Chiffre d’affaires et Indice de chiffre d’affaires
1. Chiffre d’affaires
2. Indice de chiffre d’affaires
3. Choix de l’année de base
4. Calcul de l’indice simple en base 100
II. Représentation de données
III. Série stationnaire
IV. Identification des paramètres AR et MA
V. Comparaison des modèles
VI. Vérification
VI. Prévision
RESUME
ABSTRACT
CONCLUSION