Stratégies de résolution des raccordements

Stratégies de résolution des raccordements

Motor-2 : solveur de raccordements

Après avoir défini la formulation mathématique dans le chapitre précédant, nous passons maintenant au niveau algorithmique et regardons les méthodes implémentées pour la simulation du système. Les modules composés sont les porteurs principaux de la résolution numérique dans la simulation d’un système avec Motor-2. Les interfaces qui gèrent la communication entre les sous-modules assurent le respect des contraintes de raccordement du système du monde technique. Ces contraintes s’expriment par des systèmes d’équations non-linéaires qu’il faut résoudre dans chacune des interfaces. Le problème principal de Motor-2 pour la simulation se situe donc plutôt dans la résolution des raccordements que dans les calculs des modules terminaux. Son travail consiste à trouver des solutions dans les interfaces. Il s’appui sur la capacité des sous-module à fournir des réponses aux excitations dans les frontières. Les modules terminaux contiennent chacun leur propre code de calcul. Motor-2 ne résout que la structure d’interfaces en faisant appel aux méthodes contenues dans les modules terminaux. Pour la résolution d’un système d’équations non-linéaires, l’algorithme générique est basé sur la méthode de NEWTON-RAPHSON. C’est une méthode itérative pour s’approcher de la solution en suivant la pente des fonctions. Parmi les numériciens, elle est considérée comme la seule méthode sûre et efficace. Malgré cela un bon nombre de logiciels utilisent la méthode du point fixe. C’est certainement dû à une implementation plus simple. Alternativement on applique deux fonctions sur un jeu de variables (x = f(y) et y = g(x)). Les résultats ne sont pas toujours très bons et la convergence n’est pas assurée. Pour ce qui concerne la méthode de NEWTON-RAPHSON, il existe quelques algorithmes modifiés dont les performances sont supérieures à celles de la méthode originale (voir annexe D.l.l). Toutes ces méthodes nécessitent la matrice des dérivées Stratégies de résolution des raccordements 80 Stratégies de résolution des raccordements (souvent appelée la Jacobienné). La résolution passe généralement par une inversion de cette matrice. Cette opération peut poser beaucoup de problèmes au niveau numérique : mauvais conditionnement, erreurs d’arrondis, etc. Si la Jacobienné doit être déterminée numériquement par perturbation des entrées, les calculs sont encore plus nombreux. Généralement une simulation essaye de déterminer le comportement d’un système dans le temps. La formulation mathématique standard pour exprimer une dépendance du temps est une équation différentielle. Ce type d’équation doit être intégré dans le temps. Nous supposons que cette intégration se fait à l’intérieur des modules terminaux. Si l’intégration était à faire dans les interfaces, on devrait rendre visible l’état (et la dérivée) des modules dans les frontières. Cela va à l’encontre de notre approche orientée objet et de la visibilité de données restreinte. Nous nous contentons donc d’une solution des systèmes d’équation non-linéaires dans les interfaces. 

Module composé

Pour l’instant, nous nous limitons à regarder le problème de la résolution à un seul niveau, c’est à dire, à l’intérieur d’un seul module composé. Si les sousmodules sont également des modules composés, ils trouvent leur solution de la même manière. Les appels à ces sous-modules sont des excitation extérieures pour ceux-ci et on applique de nouveau le même algorithme pour un module composé. La racine de toute description de système est un module composé pour lequel toutes les entrées sont des constantes (les valeurs initiales des pattes d’entrée). L’arbre du découpage est résolu récursivement. 

Méthode générale

A l’intérieur d’un module composé, on trouve un certain nombre de sousmodules et des interfaces. Les interfaces servent comme point de communication  entre les sous-modules.6.1 – £M module composé de trois sous-module (A,B,C) et deux interfaces entre ces sous-module (a,b). Trois frontières sont directement liées à des frontières du module père. Soit un module composé de S sous-modules et / interfaces entre les sousmodules. Les frontières extérieures du module composé sont également présentes. Elles assurent la communication avec ses modules-« frères» au niveau immédiatement supérieur. Le module composé de la figure 6.1 contient trois sous-modules et deux interfaces. Dans ce qui suit, on suppose que les valeurs des frontières extérieures sont constantes et ses valeurs sont distribuées aux sous-modules correspondants. La tâche principale d’un module composé est de déterminer les valeurs des interfaces. Avec nos / interfaces, il y a maintenant / systèmes d’équations du type de l’équation 5.15. L’ensemble de ces / systèmes constitue un grand système d’équations à l’intérieur d’un module composé. Nous appelons la matrice qui est constituée par ce système la matrice globale de raccordement C. Cette matrice C est structurée par blocs qui se trouvent tous sur (ou sous) la diagonale principale. Schématiquement elle a la structure de la figure 6.2. Chacun des blocs représente le système d’équations d’une interface. Ces blocs ne sont pas carrés à cause des équations propres à l’interface qui relient les sous-modules, les équations de contrainte (voir schéma 5.15). Dans leur partie supérieure, ils n’ont que des éléments sur la diagonale principale. Ceci résulte de notre formulation par frontière qui expriment les réponses de modules aux excitations. Les deux sous-systèmes d’équations pour les interfaces a et b de la figure 6.1 sont représentés dans l’expression 6.1. Nous avons supposé une seule équation de contraintes dans l’interface a (/ »). L’interface b contient deux équations de contraintes (/’ et /2 6 ).