Propagation dans un demi-espace infini limité par une surface poreuse

Propagation dans un demi-espace infini limité par une surface poreuse

Formulation intégrale

Nous assimilons l’air libre à un fluide parfait non dissipatif. Dans ces conditions, l’équation des ondes avec termes de source s’écrit de la manière suivante : cl dt Ap(-^f)–i^%2 ^ = -/(7^ ) (1.1) Cette relation est déduite des équations du mouvement (§1.2.27) et de conservation de la masse (2.28) en tenant compte des forces et du débit de masse par unité de volume, lorsque le fluide est supposé parfait et non dissipatif. Pour un régime harmonique, avec une dépendance temporelle de type e,a,i , l’équation du mouvement (1.1) se transforme en équation de Helmholtz inhomogène: Ap(T^) + k2 p(T ») = -/(!* ) (1.2) avec k — UJ/C0. Sous réserve d’existence de la transformée de Fourier, nous obtenons la même expression pour une dépendance temporelle quelconque. La dépendance temporelle ne sera pas mentionnée par la suite et nous proposons de résoudre le problème suivant : trouver la pression p( r ) en un point r due à l’action d’une source placée en r 0 dans un volume V limité par une surface 5′. Ce problème est dit intérieur, car la pression recherchée se trouve à l’intérieur de la surface. Il s’écrit : Ap(l^) + k2 p{~^) = -/(« r^ ) dans V (1.3) Conditions aux limites sur S Les conditions aux limites sont de type Neumann, Dirichlet ou encore mixte. Nous tacherons de résoudre le système (1.3) à l’aide d’une formulation intégrale utilisant les fonctions de Green. Afin de clarifier l’exposé, nous rappellerons la définition de la fonction Green ainsi que le théorème de Green dont l’utilité apparaîtra par la suite. Le problème sera exprimé en fonction de deux variables r et r 0 qui peuvent être généralement interprétées comme les positions du point d’observation et du point source respectivement.

Définition de la fonction de Green

La fonction de Green est solution de l’équation inhomogène de Helmlioltz suivante: AGIT», T0) + k2G(T, ~?0) = -5(-F – T*0) (1.4) et satisfait des conditions aux limites homogènes (Dirichlet, Neumann ou mixte) sur S. v 0 est le point source et l’opérateur laplacien opère sur la variable r . La fonction de Green est symétrique en r et r 0, c’est à dire par rapport au point d’observation et par rapport au point source: G , (Tf ,T> 0) = G'(T> 0,T^) (1.5)

Théorème de Green

Considérons un volume V constitué par un contour S formé par un nombre fini de surfaces rectifiables. Soient $ et G deux fonctions deux fois continûment différentiables dans V et S, nous avons: i(GA$-MG ) dV = [{G Jv Js _ $ dS on an (1.6) –— désigne la dérivée par rapport à la normale n extérieure à S. on 1.1.3 Pression acoustique pour un problème intérieur II s’agit de calculer la pression acoustique en un point de coordonnées r due à l’action d’une source placée en r 0 à l’intérieur d’un volume intérieur V¿ (Figure 1.1). FlG. 1.1 – Géométrie du problème intérieur La résolution du problème consiste à associer au système différentiel constitué par l’équation de Helmholtz et les conditions aux limites sur S pour la pression, un système où intervient la fonction de Green : • Equation de Helmholtz et conditions aux limites pour la pression Ap(~?) + k2 p(T h = -/(!* ) dans V Conditions aux limites sur S pour p Système associé : AG(7*\ !*0) + k2G(~F, T>0) = -8(1* – 7\,) Conditions aux limites sur 5 pour G (1.7) 1.8) Par la suite, les quantités (volume, surface, normale) repérées par la variable r 0 seront identifiées par l’indice o. En multipliant l’équation différentielle vérifiée par la pression (1.7) par G, et l’équation associée à la fonction de Green (1.8) par p, puis en soustrayant, nous obtenons: Ap(!*) G(~^, T%) – AG(7>, T^0) p(« F) = -f{~?) G(7*\ 1%) + p(7>) 6(1* – 7>0) (1.9) La propriété essentielle des fonctions de Green est la symétrie. Nous pouvons donc interchanger r et r 0 sans modifier la fonction G. Il en est de même pour la fonction de Dirac. Une fois ce changement effectué, et après intégration sur le volume intérieur Vi, nous obtenons : J [AP(T%) G(7>, T>C) – AGC^. ~?0) K^ 0 )] dV0 = – / U^’) G ^ ^ – PC^o) S(~F – 7>0)1 dV0 (1.10) JVi •- J L’opérateur laplacien porte à présent sur la variable r 0. En utilisant le théorème de Green (1.6), nous obtenons l’écriture de la pression, plus connue sous le nom d’équation de Helmholtz-Huygens : pÇr>) = / ftfo) G( « F, T>0) dV0 JVi f _j. _^ dpÇr^o) ,_ • dG{!*,l*0) + / G( r , r 0 ) — p{ r 0) dS0 (1.11) Js dn0 dn0 LI. FORMULATION INTÉGRALE 109 L’écriture de la pression acoustique en un point intérieur se compose donc de la pression due à la distribution de sources / ( r 0) et de celle générée par les limites du domaine. L’onde acoustique réfléchie par ces limites est la superposition de contributions de type monopolaire (terme en G) et de type dipolaire iterme dG en -r— ). Elle dépend des propriétés acoustiques de la frontière (impédance 1 et 9n  » des caractéristiques de 3’onde incidente,

Formulation intégrale pour un problème extérieur Condition de Sommerfeld

O Condition de Sommerfel d Cette condition correspond à la géométrie d’un problème intérieur où la surface S est rejetée à l’infini. Elle signifie qu’en l’absence de source à l’infini, la. pression due à la réaction des limites du domaine est nulle et donc l’intégrale de surface qui apparaît dans l’écriture de l’équation de Helmhoitz-Huygens s’annule. Pour un domaine infini, la fonction de Green s’écrit : e -i k 1 r – r „| G(^,^0 ) = ~-~~ r – ~ r (1.12) 4 -K \r – r0\ La contribution des limites du domaine s’écrit donc sous la forme d’une intégrale sur l’angle solide 0 qui varie de 0 à 4TT : lim H-H-oo I Ç1Ï**(Ç1P) te* (1,3) J[4TrRdRdR\47rRjj y avec R = | r’ — r 0\. La surface considérée est une sphère de rayon infini. L’intégrale (1.13) est nulle si: lim R[JL + ikp)=0 (1.14) Nous obtenons ainsi la condition de Sommerfeld. O Problèm e extérieu r Nous allons à présent rechercher l’écriture de la pression pour un problème extérieur vérifiant la condition de Sommerfeld. Nous recherchons donc la pression en un point r due à l’action du point r 0 à l’intérieur du volume Ve extérieur à S et limité par la surface fermée S d’une sphère centrée en 0 et de rayon  (Figure 1.2). Pour un rayon suffisamment grand et en l’abscence de souces au voisinage de S, les conditions de Sommerfeld peuvent être utilisées avec une bonne approximation.